Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Οι νόμοι της θεωρίας των πιθανοτήτων

Πολλοί άνθρωποι, όταν έρχονται αντιμέτωπα με την έννοια της «θεωρίας πιθανοτήτων», φοβισμένος, νομίζοντας ότι είναι κάτι ανυπόφορη, πολύ δύσκολη. Αλλά στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο τραγικό. Σήμερα θα εξετάσουμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας των πιθανοτήτων, να μάθουν να επιλύουν προβλήματα με συγκεκριμένα παραδείγματα.

επιστήμη

Τι μελετά υποκατάστημα των μαθηματικών ως μια «θεωρία των πιθανοτήτων»; Σημειώνει πρότυπα των τυχαίων γεγονότων και των μεταβλητών. Για πρώτη φορά το θέμα των Ανήσυχων Επιστημόνων στο δέκατο όγδοο αιώνα, όταν μελέτησε τα τυχερά παιχνίδια. Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων - εκδήλωση. Είναι κάθε συγκεκριμένο γεγονός, το οποίο δηλώνεται με την εμπειρία ή την παρατήρηση. Αλλά τι είναι η εμπειρία; Μια άλλη βασική ιδέα της θεωρίας των πιθανοτήτων. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το τμήμα των περιστάσεων, δεν είναι τυχαία που δημιουργείται και με ένα σκοπό. Όσον αφορά την εποπτεία, υπάρχει ο ερευνητής ο ίδιος δεν συμμετέχει στην εμπειρία, αλλά απλώς μια μαρτυρία για τα γεγονότα αυτά, δεν έχει καμία επίδραση σε αυτό που συμβαίνει.

εκδηλώσεις

Μάθαμε ότι η βασική ιδέα της θεωρίας των πιθανοτήτων - το γεγονός, αλλά δεν θεώρησε την κατάταξη. Όλα αυτά χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες:

• Αξιόπιστη.
• Αδύνατο.
• Τυχαία.

Δεν έχει σημασία ποια είναι η εκδήλωση, η οποία παρακολουθείται ή δημιουργούνται κατά τη διάρκεια του πειράματος, που επηρεάζονται από αυτή την κατάταξη. Προσφέρουμε κάθε είδους συναντώνται χωριστά.

συγκεκριμένο γεγονός

Αυτό είναι ένα γεγονός στο οποίο να κάνει τις απαραίτητες σύνολο των δραστηριοτήτων. Για να κατανοήσουν καλύτερα την ουσία, είναι καλύτερα να δώσω μερικά παραδείγματα. Αυτό είναι εξαρτώμενη από το νόμο και τη φυσική, τη χημεία, την οικονομία, και ανώτερα μαθηματικά. θεωρία πιθανοτήτων περιλαμβάνει μια τέτοια σημαντική έννοια ως σημαντικό γεγονός. Εδώ είναι μερικά παραδείγματα:

• Δουλεύουμε και να λαμβάνουν αμοιβή με τη μορφή μισθών.
• Καλά πέρασε τις εξετάσεις, πέρασε ένα διαγωνισμό για να λαμβάνουν αμοιβή με τη μορφή συμμετοχής σε ένα εκπαιδευτικό ίδρυμα.
• Έχουμε επενδύσει χρήματα στην τράπεζα, να τους πάρει πίσω, αν είναι απαραίτητο.

Τέτοια γεγονότα είναι αλήθεια. Αν έχουμε εκπληρώσει όλες τις απαραίτητες προϋποθέσεις, να είστε βέβαιος να λάβει το αναμενόμενο αποτέλεσμα.

αδύνατη εκδήλωση

Τώρα θεωρούμε τα στοιχεία της θεωρίας των πιθανοτήτων. Σας προσφέρουμε για να πάει στις διευκρινίσεις στους ακόλουθους τύπους εκδηλώσεων - δηλαδή το αδύνατο. Για να ξεκινήσετε να προβλέπουν τον πιο σημαντικός κανόνας - η πιθανότητα μιας αδύνατη εκδήλωση είναι μηδέν.

Από το σκεύασμα αυτό δεν μπορεί να υπάρξει παρέκκλιση για την επίλυση των προβλημάτων. Για να απεικονίζουν παραδείγματα τέτοιων γεγονότων:

• Το νερό είναι παγωμένο σε μία θερμοκρασία των συν δέκα (είναι αδύνατο).
• Η έλλειψη ηλεκτρικής ενέργειας δεν επηρεάζει την παραγωγή (ως αδύνατο, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα).

Περισσότερα παραδείγματα δίνονται δεν είναι απαραίτητο, όπως περιγράφεται παραπάνω ξεκάθαρα αντανακλούν την ουσία αυτής της κατηγορίας. Αδύνατο εκδήλωση θα συμβεί ποτέ κατά τη διάρκεια του πειράματος κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες.

τυχαία γεγονότα

Μελετώντας τα στοιχεία της θεωρίας των πιθανοτήτων, θα πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στο συγκεκριμένο τύπο του συμβάντος. Αυτοί είναι εκείνοι που σπουδάζουν αυτή την επιστήμη. Ως αποτέλεσμα της εμπειρίας της κάτι που μπορεί να συμβεί ή όχι. Επιπλέον, η δοκιμή απεριόριστο αριθμό φορών μπορεί να πραγματοποιηθεί. Αξιοσημείωτα παραδείγματα περιλαμβάνουν:

• Πέτα το κέρμα - είναι μια εμπειρία, ή δοκιμή, η απώλεια ενός αετού - αυτό το γεγονός.
• Τραβώντας την μπάλα από την τσάντα τυφλά - τεστ, πιάστηκε κόκκινη μπάλα - αυτό το γεγονός και ούτω καθεξής.

Τέτοια παραδείγματα μπορούν να είναι ένας απεριόριστος αριθμός, αλλά, γενικά, είναι να γίνει κατανοητό. Για να συνοψίσουμε και να συστηματοποιήσει τις γνώσεις που αποκτήθηκαν σχετικά με τα γεγονότα του πίνακα. μελέτες θεωρία πιθανοτήτων μόνο το τελευταίο είδος της κάθε παρουσιάζονται.

νόμων

Θεωρία πιθανοτήτων - η επιστήμη που μελετά την πιθανότητα απώλειας της κάθε εκδήλωσης. Όπως και οι άλλοι, έχει κάποιους κανόνες. Οι παρακάτω νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων:

• Η σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών.
• Ο νόμος των μεγάλων αριθμών.

Κατά τον υπολογισμό της δυνατότητας μιας σύνθετης μπορεί να χρησιμοποιηθεί συγκρότημα απλές εκδηλώσεις για την επίτευξη αποτελεσμάτων ευκολότερο και γρηγορότερο τρόπο. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι οι νόμοι της θεωρίας των πιθανοτήτων μπορεί εύκολα να αποδειχθεί, με τη βοήθεια μερικών από τους θεωρήματα. Προτείνουμε να αρχίσει να εξοικειωθούν με τον πρώτο νόμο.

Η σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών

Σημειώστε ότι η σύγκλιση των διαφόρων τύπων:

• Η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών σύγκλιση στην πιθανότητα.
• Σχεδόν αδύνατο.
• RMS σύγκλισης.
• Σύγκλιση στη διανομή.

Έτσι, on the fly, είναι πολύ δύσκολο να συλλάβει την ουσία. Εδώ είναι οι ορισμοί που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσουν το θέμα. Για να ξεκινήσετε με την πρώτη ματιά. Η αλληλουχία ονομάζεται σύγκλιση στην πιθανότητα, εάν η ακόλουθη συνθήκη: n προσεγγίζει το άπειρο, το επιδιωκόμενο από την αλληλουχία αριθμός είναι μεγαλύτερος από μηδέν και κοντά στη μονάδα.

Μετάβαση στην επόμενη προβολή, είναι σχεδόν βέβαιο. Λένε ότι η ακολουθία συγκλίνει σχεδόν σίγουρα σε μια τυχαία μεταβλητή με n τείνει στο άπειρο, και το R, τείνει σε μια τιμή κοντά στη μονάδα.

Το επόμενο είδος - μια σύγκλιση των RMS. Όταν χρησιμοποιείτε το SC-learning σύγκλιση διάνυσμα τυχαίων διαδικασιών μειώνει τη μελέτη των τυχαίων συντονίσει τις διαδικασίες.

Ήταν το τελευταίο είδος, ας δούμε λίγο και να πάω κατευθείαν στη λύση των προβλημάτων. Η σύγκλιση στον τομέα της διανομής έχει ένα άλλο όνομα - «αδύναμο», στη συνέχεια, να εξηγήσει γιατί. Ασθενής σύγκλισης - είναι η σύγκλιση των λειτουργιών της διανομής σε όλα τα σημεία της συνέχειας της λειτουργίας ορίου διανομής.

Να είστε βέβαιος να κρατήσει την υπόσχεση: χαμηλό βαθμό σύγκλισης είναι διαφορετικό από όλα τα ανωτέρω προκύπτει ότι η τυχαία μεταβλητή δεν έχει οριστεί για το χώρο πιθανοτήτων. Αυτό είναι δυνατό επειδή η κατάσταση έχει συσταθεί αποκλειστικά με τη χρήση λειτουργιών διανομής.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών

Μεγάλη αρωγός στην απόδειξη του νόμου θα είναι θεωρήματα της θεωρίας των πιθανοτήτων, όπως:

• Chebyshev ανισότητα.
• το θεώρημα του Chebyshev του.
• Γενικευμένο Θεώρημα Chebyshev.
• Markov θεώρημα.

Αν λάβουμε υπόψη όλα αυτά τα θεωρήματα, τότε το θέμα μπορεί να διαρκέσει αρκετές δεκάδες φύλλα. Έχουμε το κύριο καθήκον - είναι η εφαρμογή της θεωρίας πιθανοτήτων στην πράξη. Σας προσφέρουμε τώρα και να το κάνουμε. Πριν όμως εξετάσουμε τα αξιώματα της θεωρίας των πιθανοτήτων, είναι βασικοί εταίροι στην επίλυση των προβλημάτων.

αξιώματα

Από την πρώτη, έχουμε ήδη δει, όταν μιλάμε για το αδύνατο συμβάν. Ας θυμηθούμε: η πιθανότητα ενός αδύνατο εκδήλωση είναι μηδέν. Παράδειγμα δώσαμε ένα πολύ ζωντανό και αξέχαστη: το χιόνι έπεσε σε τριάντα βαθμούς θερμοκρασία του αέρα Κελσίου.

Η δεύτερη είναι η εξής: ένα συγκεκριμένο συμβάν με την ενότητα πιθανότητα. Τώρα θα δείξουμε πώς είναι γραμμένο με τη βοήθεια της μαθηματικής γλώσσας: P (B) = 1.

Τρίτο: Ένα τυχαίο γεγονός μπορεί να συμβεί ή όχι, αλλά η πιθανότητα είναι πάντα ποικίλει από μηδέν έως ένα. Όσο πιο κοντά είναι για την ενότητα, οι περισσότερες πιθανότητες? αν η τιμή είναι κοντά στο μηδέν, η πιθανότητα είναι πολύ μικρή. Γράφουμε αυτό με μαθηματική γλώσσα: 0

Εξετάστε το τελευταίο, τέταρτο αξίωμα, δηλαδή: το άθροισμα των πιθανοτήτων των δύο γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Γράψτε μαθηματικούς όρους: P (A + B) = P (A) + P (Β).

Τα αξιώματα της θεωρίας των πιθανοτήτων - είναι ένας απλός κανόνας που δεν θα είναι δύσκολο να θυμόμαστε. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε κάποια προβλήματα, με βάση την ήδη αποκτηθείσα γνώση.

λαχείο

Κατ 'αρχάς, σκεφτείτε το πιο απλό παράδειγμα - μια λαχειοφόρο αγορά. Φανταστείτε ότι έχετε αγοράσει ένα λαχείο για καλή τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα που θα κερδίσει τουλάχιστον είκοσι ρούβλια; Συνολική κυκλοφορία εμπλέκεται σε χιλιάδες εισιτήρια, ένα από τα οποία έχει ένα βραβείο από πεντακόσια ρούβλια, χίλια ρούβλια, είκοσι και πενήντα ρούβλια, και 100-5. Το καθήκον της θεωρίας των πιθανοτήτων με βάση το πώς να βρει έναν τρόπο να τύχη. Τώρα μαζί αναλύουμε την απόφαση πάνω από την προβολή Εργασίες.

Αν συμβολίζουμε με έπαθλο πεντακοσίων ρούβλια, τότε η πιθανότητα του Α είναι ίση με 0.001. Πώς θα φτάσετε; Απλά πρέπει ο αριθμός των «τυχεροί» εισιτήρια διαιρούμενο με το συνολικό αριθμό (σε αυτή την περίπτωση: 1/1000).

Σε - ένα κέρδος των εκατό ρούβλια, η πιθανότητα θα είναι ίση με 0,01. Τώρα έχουμε ενεργήσει με τον ίδιο τρόπο όπως και η τελευταία ενέργεια (10/1000)

Γ - πληρωμή είναι είκοσι ρούβλια. Βρείτε την πιθανότητα, είναι ίσο με 0,05.

Το υπόλοιπο των εισιτηρίων δεν μας ενδιαφέρει, ως χρηματικό έπαθλο τους είναι μικρότερο από το αναφερόμενο στην κατάσταση. Εφαρμόστε ένα τέταρτο αξίωμα: Η πιθανότητα νίκης τουλάχιστον είκοσι ρούβλια είναι Ρ (Α) + Ρ (Β) + P (C). Το γράμμα Ρ υποδηλώνει την πιθανότητα προέλευσης της εκδήλωσης, που στα προηγούμενα βήματα έχουν ήδη βρει. Μένει μόνο να καθοριστούν τα απαραίτητα στοιχεία, η απάντηση που παίρνουμε 0.061. Ο αριθμός αυτός θα είναι η απάντηση στο ερώτημα των θέσεων εργασίας.

τράπουλα

Προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων, υπάρχουν και πιο πολύπλοκα, για παράδειγμα, να λάβει την επόμενη εργασία. Πριν από κατάστρωμα σας από τριάντα έξι κάρτες. Ο στόχος σας - να καταρτίσει δύο φύλλα στη σειρά, χωρίς την ανάμειξη σωρό, το πρώτο και το δεύτερο κάρτες πρέπει να είναι άσοι, κοστούμια δεν έχει σημασία.

Κατ 'αρχάς, βρείτε την πιθανότητα ότι η πρώτη κάρτα είναι ένας άσσος, αυτό το χάσμα από τέσσερις και τριάντα έξι. Αφήστε το στην άκρη. Παίρνουμε μια δεύτερη κάρτα είναι ένας άσσος με την πιθανότητα τριακοσιοστό τριακοστό πέμπτο. Η πιθανότητα της δεύτερης εκδήλωσης εξαρτάται από την κάρτα που τράβηξε το πρώτο, μας ενδιαφέρει, ήταν ένας άσσος ή όχι. Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι, σε περίπτωση εξαρτάται από την περίπτωση του Α

Το επόμενο βήμα θα βρούμε την πιθανότητα της ταυτόχρονης εφαρμογής, δηλαδή, πολλαπλασιάστε Α και Β έργο τους έχει ως εξής: η πιθανότητα ενός ενδεχομένου πολλαπλασιάζεται με την υπό όρους πιθανότητα άλλη, έχουμε υπολογίσει, με την προϋπόθεση ότι έχει συμβεί η πρώτη περίπτωση, δηλαδή, η πρώτη κάρτα που τράβηξε έναν άσσο.

Για να γίνει όλη είναι σαφές, δίνουν την ονομασία τέτοιο στοιχείο ως το υπό όρους πιθανότητα της εκδήλωσης. Υπολογίζεται από την παραδοχή ότι η εκδήλωση Α συνέβη. Υπολογίζεται ως εξής: P (Β / Α).

Έχουμε επεκτείνει τη λύση στο πρόβλημα μας: P (A _* B) = P (A) _* Ρ (Β / Α) ή P (A _* B) = P (Β) _* Ρ (Α / Β). Η πιθανότητα είναι _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) υπολογίζεται με στρογγυλοποίηση στο πλησιέστερο εκατοστό Έχουμε: .. _{0,11 * (0,09 / 0,11) =} 0,11 * 0 , 82 = 0,09. η πιθανότητα ότι αντλούμε από δύο άσσους σε μια σειρά είναι ίση με εννέα εκατοστά. η τιμή είναι πολύ μικρή, έπεται ότι η πιθανότητα της εμφάνισης γεγονότος είναι εξαιρετικά χαμηλή.

ξεχάσει το δωμάτιο

Προσφέρουμε κάνει μερικές περισσότερες επιλογές των θέσεων εργασίας που μελετά τη θεωρία των πιθανοτήτων. Τα παραδείγματα των λύσεων μερικών από αυτά που έχω δει σε αυτό το άρθρο, προσπαθήστε να λύσει το εξής πρόβλημα: Το αγόρι ξεχάσει τον αριθμό τηλεφώνου για το τελευταίο ψηφίο του φίλου του, αλλά επειδή η κλήση ήταν πολύ σημαντικό, τότε άρχισαν να πάρει το καθένα με τη σειρά του. Πρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι θα καλέσει όχι περισσότερο από τρεις φορές. η απλούστερη λύση του προβλήματος, αν γνωρίζετε τους κανόνες, νόμους και αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Πριν δούμε μια λύση, προσπαθούν να λύσουν μόνοι τους. Γνωρίζουμε ότι ο τελευταίος αυτός αριθμός μπορεί να είναι από μηδέν έως εννέα, για ένα σύνολο δέκα αξιών. βαθμολογία της πιθανότητας που απαιτείται είναι 1/10.

Στη συνέχεια θα πρέπει να εξετάσει τις επιλογές για την προέλευση των γεγονότων, ας υποθέσουμε ότι το αγόρι μαντέψει σωστά και κέρδισε το δικαίωμα, η πιθανότητα τέτοιων γεγονότων είναι ίσο με το 1/10. Η δεύτερη επιλογή: η πρώτη κλήση ολίσθησης, και ο δεύτερος στόχος. Υπολογίζουμε την πιθανότητα τέτοιων γεγονότων: 9/10 πολλαπλασιάζεται με 1/9 στο τέλος θα έχουμε ως 1/10. Η τρίτη επιλογή: η πρώτη και η δεύτερη πρόσκληση αποδείχθηκε ότι ήταν λάθος διεύθυνση, μόνο το τρίτο παιδί ήταν όπου ήθελε. Υπολογίστε την πιθανότητα τέτοιων γεγονότων: 9/10 πολλαπλασιάζεται με 8/9 και 1/8, παίρνουμε ως αποτέλεσμα της 1/10. Άλλες επιλογές σχετικά με την κατάσταση του προβλήματος δεν μας ενδιαφέρει, αυτό παραμένει για μας να καθορίζουν τα αποτελέσματα αυτά, στο τέλος έχουμε ένα 3/10. Απάντηση: Η πιθανότητα ότι ένα αγόρι θα καλέσει όχι περισσότερο από τρεις φορές, ίση με 0,3.

Κάρτες με αριθμούς

Πριν από εννέα κάρτες, καθένα από τα οποία έχει γράψει μια σειρά από ένα έως εννέα, οι αριθμοί δεν επαναλαμβάνονται. Βάζουν σε ένα κουτί και ανακατεύουμε καλά. Θα πρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι η

• έλασης ζυγό αριθμό?
• διψήφιος.

Πριν προχωρήσετε στην απόφαση ορίζεται ότι η μ - είναι ο αριθμός των επιτυχημένων περιπτώσεων, και n - είναι ο συνολικός αριθμός των επιλογών. Ας βρούμε την πιθανότητα ότι ο αριθμός είναι ακόμη. Δεν είναι δύσκολο να υπολογιστεί ότι ακόμη και οι αριθμοί των τεσσάρων, και είναι μ μας, οι εννέα πιθανές επιλογές, δηλαδή, m = 9. Στη συνέχεια, η πιθανότητα είναι ίση με 0,44 ή 4/9.

Θεωρούμε την δεύτερη περίπτωση, ο αριθμός των παραλλαγών των εννέα, και η επιτυχής έκβαση δεν μπορεί να είναι σε όλα, δηλαδή, το m είναι μηδέν. Η πιθανότητα ότι η επιμήκης κάρτα θα περιέχει ένα διψήφιο αριθμό, ως μηδέν.