Η μετάφραση από δυαδικό σε δεκαδικό είναι εύκολη

Η φράση ότι όλα τα καινούργια δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια ξεχασμένη παλιά, αναφέρεται πλήρως στο δυαδικό σύστημα αριθμών. Αποδεικνύεται ότι ακόμη και στην αρχαία Κίνα είχε ήδη χρησιμοποιήσει κάτι που μοιάζει με το "μικρό μας μηδέν", αν και όχι για την αριθμητική, αλλά για το γράψιμο των κειμένων του βιβλίου των Αλλαγών. Το πλησιέστερο στην κατανόηση των διαφορετικών συστημάτων αριθμών ήταν οι Incas: χρησιμοποίησαν τόσο δεκαδικά όσο και δυαδικά συστήματα, αν και αυτά ήταν μόνο για κείμενα και κωδικοποιημένα μηνύματα. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι ακόμα και τότε, πριν από 4 χιλιάδες χρόνια, οι Ίνκας κατάφεραν να μετατρέψουν από δυαδικό σε δεκαδικό.

Η σύγχρονη εκδοχή του δυαδικού συστήματος προτάθηκε από τον Leibniz μόλις πριν από περίπου 300 χρόνια και μετά από άλλο αιώνα και μισό ο George Buhl άφησε το όνομά του στη μνήμη των απογόνων που ασχολούνται με την άλγεβρα λογικής. Η δυαδική αριθμητική σε συνδυασμό με την άλγεβρα της λογικής έχει γίνει το θεμέλιο της τρέχουσας ψηφιακής τεχνολογίας. Και όλα άρχισαν το 1937, όταν προτάθηκε η μέθοδος της συμβολικής ανάλυσης των ηλεκτρονόμων και των κυκλωμάτων μεταγωγής. Αυτό το έργο του Claude Chenon έγινε "μητέρα" για τον υπολογιστή ρελέ που εκτέλεσε την δυαδική προσθήκη το 1937. Και, φυσικά, ένα από τα καθήκοντα αυτού του «παππού» των σύγχρονων υπολογιστών ήταν η μετάφραση από δυαδικό σε δεκαδικό.

Χρειάστηκαν μόνο τρία χρόνια και το επόμενο μοντέλο του ηλεκτρονικού υπολογιστή "σέρβις" έστειλε εντολές στην αριθμομηχανή σύνθετων αριθμών, χρησιμοποιώντας τηλεφωνική γραμμή και teletype - καλά, το αρχαίο Διαδίκτυο σε δράση.

Τι είναι δυαδικό, δεκαδικό, δεκαεξαδικό και, γενικά, οποιοδήποτε σύστημα N-ary; Ναι, τίποτα περίπλοκο. Ας πάρουμε έναν τριψήφιο αριθμό στο αγαπημένο μας δεκαδικό σύστημα, αντιπροσωπεύεται χρησιμοποιώντας 10 χαρακτήρες - από 0 έως 9, λαμβάνοντας υπόψη την τοποθεσία τους. Ας καθορίσουμε ότι τα ψηφία αυτού του αριθμού βρίσκονται στις θέσεις 0, 1, 2 (η σειρά πηγαίνει από το τελευταίο ψηφίο στο πρώτο). Κάθε μία από τις θέσεις μπορεί να περιέχει οποιονδήποτε από τους αριθμούς του συστήματος, αλλά η τιμή αυτού του αριθμού καθορίζεται όχι μόνο από το σχήμα του, αλλά και από τη θέση της θέσης. Για παράδειγμα, για τον αριθμό 365 (αντίστοιχα, η θέση 0 είναι ο αριθμός 5, η θέση 1 είναι ο αριθμός 6 και η θέση 2 είναι ο αριθμός 3), η τιμή του αριθμού στη μηδενική θέση είναι μόλις 5, η πρώτη θέση είναι 6 * 10 και η δεύτερη - 10 * 10. Είναι ενδιαφέρον ότι από την πρώτη θέση, ο αριθμός περιέχει ένα σημαντικό ψηφίο (από 0 έως 9) και η βάση του συστήματος είναι ίση με τον αριθμό θέσης, δηλ. Μπορούμε να γράψουμε ότι 345 = 3 * 10 * 10 + 6 * 10 +3 = 3 * 102 + 6 * 101 + 5 * 100.

Ένα άλλο παράδειγμα:

260974 = 2 * 105 + 6 * 104 + 0 * 103 + 9 * 102 + 7 * 101 + 4 * 100.

Όπως μπορείτε να δείτε, κάθε θέση θέσης περιέχει ένα σημαντικό αριθμό από το σύνολο του δεδομένου συστήματος και ο πολλαπλασιαστής από τη βάση του συστήματος είναι ίσος με τη θέση του δεδομένου αριθμού (ο αριθμός ψηφίου είναι ο αριθμός των θέσεων, αλλά +1 περισσότερο).

Από την άποψη της αναπαράστασης ενός αριθμού, η δυαδική μορφή του παζλίζει με την απλότητα του - μόνο 2 αριθμοί στο σύστημα - 0 και 1. Αλλά η ομορφιά των μαθηματικών είναι ότι ακόμη και σε κολοβωμένη μορφή, μπορεί να φαίνεται, οι δυαδικοί αριθμοί είναι τόσο πλήρεις και ίσοι Περισσότεροι «ψηλοί σύντροφοι». Αλλά πώς μπορείτε να τα συγκρίνετε, για παράδειγμα, με έναν δεκαδικό αριθμό; Ως επιλογή, πρέπει να κάνετε τη μετάφραση από δυαδικό σε δεκαδικό. Το έργο δεν μπορεί να ονομαστεί δύσκολο, αλλά αυτή η επίπονη εργασία απαιτεί προσοχή. Ας αρχίσουμε λοιπόν.

Συνεχίζοντας από ό, τι ειπώθηκε παραπάνω για τη σειρά της αναπαράστασης αριθμών σε οποιοδήποτε σύστημα και έχοντας κατά νου την απλούστερη από αυτές - δυαδική, παίρνουμε οποιαδήποτε ακολουθία "μονάδων προς τσιμπούρια". Καλέστε αυτόν τον αριθμό VO (στα Ρωσικά VO) και προσπαθήστε να μάθετε τι είναι - μια μετάφραση από δυαδικό σε δεκαδικό. Ας είναι VO = 11001010010. Με την πρώτη ματιά, ο αριθμός είναι ένας αριθμός. Θα δούμε!

Στην πρώτη γραμμή, κανονίζουμε τον ίδιο τον αριθμό σε μια τεντωμένη μορφή και θα γράψουμε τον δεύτερο αριθμό ως άθροισμα κάθε θέσης με τη μορφή παραγόντων - ένα σημαντικό ψηφίο (εδώ η επιλογή είναι μικρή - 0 ή 1) και ο αριθμός 2 με την ισχύ που αντιστοιχεί στον αριθμό θέσης στο δεκαδικό σύστημα, Δυαδικό προς δεκαδικό. Τώρα στη δεύτερη σειρά πρέπει απλά να εκτελέσετε τους υπολογισμούς. Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε επίσης να προσθέσετε μια τρίτη γραμμή με ενδιάμεσους υπολογισμούς.

VO = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ·

VO = 1 * 210 + 1 * 29 + 0 * 28 + 0 * 27 + 1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20;

VO = 1 * 1024 + 1 * 512 + 0 * 256 + 0 * 128 + 1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1.

Υπολογίζουμε την "αριθμητική" στην τρίτη γραμμή και έχουμε αυτό που ψάχναμε: VO = 1618. Λοιπόν, τι είναι τόσο σπουδαίο γι 'αυτό; Και το γεγονός ότι αυτός ο αριθμός είναι το πιο διάσημο από όλα όσα γνωρίζουν οι άνθρωποι: οι αναλογίες των αιγυπτιακών πυραμίδων, η περίφημη Gioconda, οι μουσικές νότες και το ανθρώπινο σώμα σχετίζονται με αυτό, αλλά ... Αλλά με μια μικρή διευκρίνιση - γνωρίζοντας ότι πρέπει να υπάρξει πολύ καλό, Μας έδωσε αυτόν τον αριθμό 1000 φορές περισσότερο από την παρούσα τιμή - 1.618. Πιθανότατα, όλα αυτά πήραν. Και κατά μήκος της διαδρομής, η μετάφραση από δυαδικό σε δεκαδικό βοήθησε από την απέραντη θάλασσα των αριθμών "να πιάσει" το πιο αξιοσημείωτο - καλείται επίσης "χρυσή αναλογία".