Diagonal ισόπλευρο τραπεζοειδές. Ποια είναι η μεσαία γραμμή του τραπεζίου. Τύποι τραπέζια. Τραπέζιο - αυτό ..

Το τραπεζοειδές είναι μια ειδική περίπτωση ενός τετράπλευρου, στο οποίο ένα ζεύγος πλευρών είναι παράλληλο. Ο όρος "τραπεζοειδής" προέρχεται από την ελληνική λέξη τράπεζα, που σημαίνει "τραπέζι", "τραπέζι". Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τους τύπους τραπέζης και τις ιδιότητές του. Επιπλέον, θα κατανοήσουμε τον τρόπο υπολογισμού των επιμέρους στοιχείων αυτού του γεωμετρικού αριθμού. Για παράδειγμα, η διαγώνιος ενός ισόπλευρου τραπέζιου, της μεσαίας γραμμής, της περιοχής κλπ. Το υλικό περιγράφεται στο στυλ της στοιχειώδους λαϊκής γεωμετρίας, δηλ. Σε μια εύκολα προσιτή μορφή.

Γενικές πληροφορίες

Πρώτον, ας δούμε τι είναι ένα τετράπλευρο. Αυτό το σχήμα είναι μια ειδική περίπτωση ενός πολυγώνου που περιέχει τέσσερις πλευρές και τέσσερις κορυφές. Δύο κορυφές ενός τετραγώνου που δεν είναι γειτονικές ονομάζονται αντίθετες κορυφές. Το ίδιο μπορεί να ειπωθεί για τις δύο μη συνεχόμενες πλευρές. Οι κύριοι τύποι τετράπλευρων είναι ένα παραλληλόγραμμο, ένα ορθογώνιο, ένα ρομβοειδές, ένα τετράγωνο, ένα τραπεζοειδές και ένα χαλαρό.

Έτσι, πίσω στο τραπεζοειδές. Όπως έχουμε ήδη πει, ο αριθμός αυτός έχει δύο πλευρές που είναι παράλληλες. Ονομάζονται βάσεις. Οι άλλες δύο (μη παράλληλες) είναι οι πλευρές. Στα υλικά των εξετάσεων και των διαφόρων εξετάσεων είναι πολύ συχνά δυνατό να εκπληρωθούν τα καθήκοντα που σχετίζονται με τα τραπεζοειδή, η λύση των οποίων συχνά απαιτεί από τον σπουδαστή να αποκτήσει γνώσεις που δεν παρέχονται από το πρόγραμμα. Το σχολικό μάθημα της γεωμετρίας εισάγει τους μαθητές στις ιδιότητες των γωνιών και των διαγώνων, καθώς και στη μεσαία γραμμή ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς. Αλλά τελικά, εκτός από αυτό, η προαναφερθείσα γεωμετρική μορφή έχει και άλλα χαρακτηριστικά. Αλλά για αυτούς αργότερα ...

Τύποι τραπεζοειδούς

Υπάρχουν πολλά είδη αυτού του αριθμού. Ωστόσο, δύο από αυτές θεωρούνται συνήθως ισοσκελές και ορθογώνιες.

1. Ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές είναι ένα σχήμα στο οποίο μια από τις πλευρικές πλευρές είναι κάθετη στις βάσεις. Έχει δύο γωνίες πάντα ίσες με ενενήντα βαθμούς.

2. Ένα ισοσκελές τραπεζοειδές είναι μια γεωμετρική μορφή των οποίων οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτό σημαίνει ότι οι γωνίες των βάσεων είναι επίσης ίσες σε ζεύγη.

Οι κύριες αρχές της τεχνικής της μελέτης των ιδιοτήτων τραπεζοειδούς

Η βασική αρχή είναι η χρήση της αποκαλούμενης προβληματικής προσέγγισης. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει ανάγκη να εισαχθούν νέες ιδιότητες αυτού του αριθμού στη θεωρητική γεωμετρία. Μπορούν να ανοίξουν και να διατυπωθούν στη διαδικασία επίλυσης διαφόρων προβλημάτων (καλύτερα συστήματα). Ταυτόχρονα, είναι πολύ σημαντικό ο δάσκαλος να γνωρίζει ποια καθήκοντα θα πρέπει να τεθούν ενώπιον των μαθητών σε μία ή άλλη στιγμή της εκπαιδευτικής διαδικασίας. Επιπλέον, κάθε ιδιότητα τραπέζης μπορεί να εκπροσωπείται ως βασικό καθήκον στο σύστημα των εργασιών.

Η δεύτερη αρχή είναι η επονομαζόμενη σπειροειδής οργάνωση της μελέτης των "αξιοσημείωτων" ιδιοτήτων τραπεζοειδούς. Αυτό συνεπάγεται την επιστροφή στη διαδικασία εκμάθησης των επιμέρους χαρακτηριστικών του δεδομένου γεωμετρικού σχήματος. Έτσι, οι μαθητές είναι ευκολότερο να θυμηθούν. Για παράδειγμα, η ιδιοκτησία των τεσσάρων σημείων. Μπορεί να αποδειχθεί τόσο στη μελέτη της ομοιότητας όσο και αργότερα με τη βοήθεια των φορέων. Και η ισότητα των τριγώνων που γειτνιάζουν με τις πλευρές του σχήματος μπορεί να αποδειχθεί εφαρμόζοντας όχι μόνο τις ιδιότητες των τριγώνων με ίσα ύψη που τραβούν τις πλευρές που βρίσκονται σε μία γραμμή, αλλά και χρησιμοποιώντας τον τύπο S = 1/2 (ab * sinα). Επιπλέον, μπορεί κανείς να επεξεργαστεί το ημιτορικό θεώρημα σε ένα εγγεγραμμένο τραπεζοειδές ή ένα ορθογωνικό τρίγωνο στο τραπέζι που περιγράφεται και ούτω καθεξής.

Η εφαρμογή των "μη προγραμματικών" χαρακτηριστικών του γεωμετρικού σχήματος στο περιεχόμενο του σχολικού μαθήματος είναι μια συνετή τεχνολογία για τη διδασκαλία τους. Η συνεχής έκκληση προς τις μελετημένες ιδιότητες στο πέρασμα άλλων θεμάτων επιτρέπει στους μαθητές να κατανοήσουν καλύτερα το τραπεζοειδές και να εξασφαλίσουν την επιτυχία της επίλυσης των καθηκόντων. Ας αρχίσουμε λοιπόν να μελετάμε αυτό το αξιόλογο σχήμα.

Στοιχεία και ιδιότητες ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς

Όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει, σε αυτή τη γεωμετρική μορφή οι πλευρές είναι ίσες. Είναι επίσης γνωστή ως το δεξί τραπεζοειδές. Και γιατί είναι τόσο αξιοσημείωτο και γιατί πήρε ένα τέτοιο όνομα; Η ιδιαιτερότητα αυτού του σχήματος είναι ότι, όχι μόνο οι πλευρές και οι γωνίες των βάσεων είναι ίσες, αλλά και οι διαγώνιες. Επιπλέον, το άθροισμα των γωνιών ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς είναι 360 μοίρες. Αλλά αυτό δεν είναι όλα! Από όλα τα γνωστά τραπεζοειδή, μόνο γύρω από ένα ισοσκελές μπορεί κανείς να περιγράψει έναν κύκλο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το άθροισμα των αντίθετων γωνιών αυτού του σχήματος είναι 180 μοίρες, αλλά μόνο υπό τέτοιες συνθήκες είναι δυνατόν να περιγράψουμε έναν κύκλο γύρω από ένα τετράπλευρο. Η επόμενη ιδιότητα του γεωμετρικού σχήματος είναι ότι η απόσταση από την κορυφή της βάσης έως την προβολή της αντίθετης κορυφής στη γραμμή που περιέχει αυτή τη βάση θα είναι ίση με τη μέση γραμμή.

Και τώρα ας καταλάβουμε πώς να βρούμε τις γωνίες ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς. Ας εξετάσουμε τη λύση αυτού του προβλήματος, υπό την προϋπόθεση ότι είναι γνωστές οι διαστάσεις των πλευρών του σχήματος.

Η λύση

Συνήθως ένα τετράπλευρο συμβολίζεται συνήθως με τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ, όπου οι βάσεις είναι BS και AD. Στο ισοσκελές τραπεζοειδές, οι πλευρές είναι ίσες. Θα υποθέσουμε ότι το μέγεθός τους είναι ίσο με το Χ και τα μεγέθη των βάσεων είναι ίσα με τα Υ και Ζ (μικρότερα και μεγαλύτερα, αντίστοιχα). Για να γίνει ο υπολογισμός είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε το ύψος Η από τη γωνία Β. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABN, όπου το ΑΒ είναι η υποτείνουσα και τα ΒΝ και ΑΝ είναι τα πόδια. Υπολογίζουμε το μέγεθος του AN: από τη μεγαλύτερη βάση αφαιρούμε τα μικρότερα και διαιρούμε το αποτέλεσμα με 2. Γράφουμε με τη μορφή του τύπου: (ZY) / 2 = F. Τώρα, για να υπολογίσουμε την οξεία γωνία του τριγώνου, χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση cos. Παίρνουμε την ακόλουθη συμβολοσειρά: cos (β) = X / F. Τώρα υπολογίστε τη γωνία: β = arcos (X / F). Περαιτέρω, γνωρίζοντας μια γωνία, μπορούμε να ορίσουμε τη δεύτερη, γι 'αυτό κάνουμε τη στοιχειώδη αριθμητική δράση: 180 - β. Ορίζονται όλες οι γωνίες.

Υπάρχει επίσης μια δεύτερη λύση σε αυτό το πρόβλημα. Στην αρχή, χαμηλώνουμε το ύψος H από τη γωνία Β. Υπολογίζουμε την τιμή της κατηγορίας BN. Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθού τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. Παίρνουμε: BN = √ (X2-F2). Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική λειτουργία tg. Ως αποτέλεσμα έχουμε: β = arctg (BN / F). Έχει εντοπιστεί οξεία γωνία. Στη συνέχεια, ορίζουμε την αμβλεία γωνία παρόμοια με την πρώτη μέθοδο.

Η ιδιότητα των διαγωνίων ενός ισοσκελισμένου τραπεζοειδούς

Πρώτον, γράφουμε τέσσερις κανόνες. Εάν οι διαγώνιοι σε ένα ισοσκελές τραπεζοειδές είναι κάθετοι τότε:

- το ύψος του σχήματος θα είναι ίσο με το άθροισμα των βάσεων διαιρούμενο με δύο.

- το ύψος και η μεσαία γραμμή είναι ίσες.

- η περιοχή του τραπεζοειδούς θα είναι ίση με το τετράγωνο του ύψους (η μεσαία γραμμή, το ήμισυ του αθροίσματος των βάσεων).

- το τετράγωνο της διαγώνιας ισούται με το μισό τετράγωνο του αθροίσματος των βάσεων ή με το διπλό τετράγωνο της μέσης γραμμής (ύψος).

Τώρα θεωρούμε τους τύπους που καθορίζουν τη διαγώνια ενός ισόπλευρου τραπεζοειδούς. Αυτό το μπλοκ πληροφοριών μπορεί να χωριστεί σε τέσσερα μέρη:

1. Ο τύπος για το μήκος της διαγωνίου κατά μήκος των πλευρών του.

Ας υποθέσουμε ότι το Α είναι η κάτω βάση, το Β είναι η κορυφή, το C είναι ίσες πλευρές και το D είναι η διαγώνιος. Σε αυτή την περίπτωση, το μήκος μπορεί να καθοριστεί ως εξής:

D = √ (C2 + Α * Β).

2. Τύπος για το μήκος της διαγώνιας από το θεώρημα του συνημιτονίου.

Υποθέτουμε ότι το Α είναι η κάτω βάση, το Β είναι η κορυφή, το Β είναι η κορυφαία πλευρά, το D είναι η διαγώνιος, α (στην κάτω βάση) και το β (στην πάνω βάση) είναι οι γωνίες του τραπεζοειδούς. Λαμβάνουμε τους ακόλουθους τύπους, με τους οποίους μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος της διαγωνίου:

- Δ = √ (Α2 + С2-2Α * С * cosα);

- Δ = √ (Α2 + C2-2A * C * cosβ).

- Δ = √ (В2 + С2-2Β * С * cosβ);

- Δ = √ (В2 + С2-2Β * С * cosα).

3. Φόρμουλα για το μήκος των διαγωνίων ενός ισοσκελούς τραπεζοειδούς.

Υποθέτουμε ότι το Α είναι η κάτω βάση, το Β είναι η κορυφή, το D είναι η διαγώνια, το M είναι η μέση γραμμή, το H είναι το ύψος, το P είναι η περιοχή του τραπέζι και τα α και β είναι οι γωνίες μεταξύ των διαγωνίων. Προσδιορίστε το μήκος των ακόλουθων τύπων:

- D = √ (Μ2 + Η2).

- D = √ (Η2 + (Α + Β) 2/4).

- D = √ (H (A + B) / sinα) = √ (2P / sinα) = √ (2M * H / sinα).

Για την περίπτωση αυτή, η ισότητα: sinα = sinβ.

4. Γραμμές διαγώνιου μήκους διαμέσου πλευρών και ύψους.

Ας υποθέσουμε ότι το Α είναι η κάτω βάση, το Β είναι η κορυφή, το C είναι η πλευρά, το D είναι η διαγώνια, το H είναι το ύψος και το α είναι η γωνία με την κάτω βάση.

Προσδιορίστε το μήκος των ακόλουθων τύπων:

- D = √ (Η2 + (Α-Ρ * ctgα) 2).

- Δ = √ (Η2 + (Β + Ρ * ctgα) 2);

- Δ = √ (Α2 + C2-2A * √ (C2-Η2)).

Στοιχεία και ιδιότητες ενός ορθογωνίου τραπεζοειδούς

Ας δούμε τι είναι ενδιαφέρον για αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Όπως έχουμε ήδη πει, ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές έχει δύο ορθές γωνίες.

Εκτός από τον κλασικό ορισμό, υπάρχουν και άλλοι. Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές είναι ένα τραπεζοειδές στο οποίο μία πλευρά είναι κάθετη στις βάσεις. Ή μια εικόνα με ορθές γωνίες στο πλάι. Σε αυτόν τον τύπο τραπέζου, το ύψος είναι ίσο με την πλευρική πλευρά, η οποία είναι κάθετη στις βάσεις. Η μεσαία γραμμή είναι το τμήμα που συνδέει τη μέση των δύο πλευρών. Η ιδιότητα του αναφερόμενου στοιχείου είναι ότι είναι παράλληλη με τις βάσεις και ισούται με το ήμισυ του αθροίσματος τους.

Τώρα ας δούμε τους βασικούς τύπους που ορίζουν αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Για αυτό υποθέτουμε ότι τα Α και Β είναι βάσεις. C (κάθετα προς τις βάσεις) και D - πλευρές του ορθογωνίου τραπεζοειδούς, Μ - μεσαία γραμμή, α - οξεία γωνία, περιοχή P.

1. Η πλάγια όψη κάθετη προς τις βάσεις είναι ίση με το ύψος του σχήματος (C = H) και είναι ίση με το προϊόν του μήκους της δεύτερης πλευρικής πλευράς D και του ημίτου της γωνίας α στη μεγαλύτερη βάση (C = D * sinα). Επιπλέον, ισούται με το προϊόν της εφαπτομένης της οξείας γωνίας α και της διαφοράς στις βάσεις: C = (A-B) * tgα.

2. Η πλευρά D (όχι κάθετη στις βάσεις) είναι ίση με τη συγκεκριμένη διαφορά Α και Β και το συνημίτονο (α) της οξείας γωνίας ή του μερικού ύψους του σχήματος Η και του ημίτονος της οξείας γωνίας: D = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Η πλευρά που είναι κάθετη στις βάσεις είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα της διαφοράς μεταξύ του τετραγώνου του D - της δεύτερης πλευράς και του τετραγώνου της διαφοράς στις βάσεις:

C = √ (Α2- (Α-Β) 2).

4. Η πλευρά D ενός ορθογωνίου τραπεζοειδούς είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος του τετραγώνου της πλευράς C και το τετράγωνο της διαφοράς στις βάσεις του γεωμετρικού σχήματος: D = √ (C2 + (AB) 2).

5. Η πλευρά C είναι ίση με το πηλίκο της διαίρεσης της διπλής περιοχής με το άθροισμα των βάσεων της: C = П / М = 2П / (А + Β).

6. Η περιοχή καθορίζεται από το προϊόν Μ (η μεσαία γραμμή του ορθογωνίου τραπεζοειδούς) στο ύψος ή την πλευρική πλευρά κάθετα στις βάσεις: Π = Μ * Η = М * С.

7. Η πλευρά C είναι ίση με το πηλίκο της διαίρεσης της διπλασιασμένης περιοχής του σχήματος με το προϊόν της ημιτονοειδούς οξείας γωνίας και το άθροισμα των βάσεων της: C = Π / М * sinα = 2Π / ((Α + Β) * sinα).

8. Οι τύποι της πλευρικής πλευράς ενός ορθογωνίου τραπεζίου μέσω των διαγωνίων του και η γωνία μεταξύ τους:

- sinα = sinβ,

- C = (Α1 * Α2 / (Α + Β)) * sinα = (Α1 * Α2 / (Α + Β)

Όπου D1 και D2 είναι οι διαγώνιοι του τραπέζου. Α και β είναι οι γωνίες μεταξύ τους.

9. Τύποι πλευρικής πλευράς από τη γωνία στην κάτω βάση και τις άλλες πλευρές: D = (AB) / cosα = C / sinα = H / sinα.

Δεδομένου ότι το τραπεζοειδές με ορθή γωνία είναι μια ειδική περίπτωση ενός τραπεζοειδούς, οι υπόλοιποι τύποι που ορίζουν αυτά τα σχήματα θα αντιστοιχούν επίσης σε ένα ορθογώνιο.

Οι ιδιότητες εγγεγραμμένου κύκλου

Εάν η συνθήκη δηλώνει ότι ένας κύκλος είναι εγγεγραμμένος σε ένα ορθογώνιο τραπεζοειδές, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες ιδιότητες:

- το άθροισμα των βάσεων είναι ίσο με το άθροισμα των πλευρικών πλευρών.

- οι αποστάσεις από την κορυφή του ορθογώνιου σχήματος στα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου είναι πάντα ίσες.

- το ύψος του τραπεζοειδούς είναι ίσο με την πλευρική πλευρά, κάθετα προς τις βάσεις και είναι ίσο με τη διάμετρο του κύκλου ,

Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο στο οποίο τέμνονται οι διχοτόμοι των γωνιών .

- αν η πλευρική πλευρά διαιρείται από το σημείο επαφής στα τμήματα Η και Μ, τότε η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος αυτών των τμημάτων.

- ένα τετράπλευρο που σχηματίζεται από σημεία επαφής, η κορυφή του τραπεζοειδούς και το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ένα τετράγωνο του οποίου η πλευρά είναι ίση με την ακτίνα.

- η επιφάνεια του σχήματος είναι ίση με το προϊόν των βάσεων και το προϊόν του μισού αθροίσματος των βάσεων στο ύψος του.

Παρόμοια τραπέζια

Αυτό το θέμα είναι πολύ βολικό για τη μελέτη των ιδιοτήτων αυτής της γεωμετρικής μορφής. Για παράδειγμα, οι διαγώνιοι χωρίζουν το τραπεζοειδές σε τέσσερα τρίγωνα, τα γειτονικά προς τις βάσεις είναι παρόμοια και στις πλευρές είναι ίσες. Αυτή η δήλωση μπορεί να ονομαστεί ιδιότητα των τριγώνων, στην οποία το τραπεζοειδές διαιρείται από τις διαγώνιες. Το πρώτο μέρος αυτού του ισχυρισμού αποδεικνύεται μέσω του κριτηρίου ομοιότητας σε δύο γωνίες. Για να αποδείξετε το δεύτερο μέρος, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο που δίνεται παρακάτω.

Απόδειξη του θεώρημα

Υποθέτουμε ότι το πρότυπο ABSD (AD και BS - η τραπεζοειδής βάση) σπάει από τις διαγώνιες των VD και AC. Το σημείο της τομής τους είναι Ο. Παίρνουμε τέσσερα τρίγωνα: AOS - στην κάτω βάση, BOS - στην ανώτερη βάση, ABO και SOD στις πλευρικές πλευρές. Τα τρίγωνα των SOD και BFD έχουν ένα κοινό ύψος στην περίπτωση που τα τμήματα BD και OD είναι οι βάσεις τους. Έχουμε ότι η διαφορά στις περιοχές τους (Π) είναι ίση με τη διαφορά αυτών των τμημάτων: ΠΣ / / ПСОД = = / / / Д = = Следовательно. Ομοίως, τα τρίγωνα BF και AOB έχουν κοινό ύψος. Παίρνουμε τα τμήματα CO και OA ως τις βάσεις τους. Παίρνουμε το PBO / PAOB = CO / OA = K και το PAOB = PBO / K. Από αυτό προκύπτει ότι το PSCM = PAOB.

Για να καθορίσουν το υλικό, οι μαθητές ενθαρρύνονται να βρουν μια σύνδεση μεταξύ των περιοχών των τριγώνων που προκύπτουν, στα οποία το τραπεζοειδές διαιρείται με τις διαγώνιες του, επιλύοντας το ακόλουθο πρόβλημα. Είναι γνωστό ότι τα τρίγωνα των περιοχών BF και ADN είναι ίσα, είναι απαραίτητο να βρεθεί η περιοχή του τραπεζοειδούς. Δεδομένου ότι το LDPE = PAOB, αυτό σημαίνει ότι το PABSD = PBO + PAOJD + 2 * PODC. Από την ομοιότητα των τριγώνων των BFU και AOD, προκύπτει ότι BD / DD = √ (PBO / PAOD). Κατά συνέπεια, το BSP / DPPM = BW / DD = √ (PBO / PAOD). Παίρνουμε το LDP = √ (PBO * PAOD). Στη συνέχεια, το PABSD = PBO + PAOAD + 2 * √ (PAO * PAOD) = (√POPS + √PAOOD) 2.

Ιδιότητες ομοιότητας

Συνεχίζοντας να αναπτύσσουμε αυτό το θέμα, είναι δυνατό να αποδείξουμε άλλα ενδιαφέροντα τραπεζοειδή χαρακτηριστικά. Έτσι, χρησιμοποιώντας ομοιότητα, μπορούμε να αποδείξουμε την ιδιότητα ενός τμήματος που διέρχεται από ένα σημείο που σχηματίζεται από τη διασταύρωση των διαγώνων αυτού του γεωμετρικού σχήματος, παράλληλα με τις βάσεις. Για να γίνει αυτό, επιλύουμε το ακόλουθο πρόβλημα: είναι απαραίτητο να βρούμε το μήκος του τμήματος PK που διέρχεται από το σημείο O. Από την ομοιότητα των τριγώνων ADD και BFD προκύπτει ότι AO / OC = AD / BS. Από την ομοιότητα των τριγώνων AOP και ASB προκύπτει ότι AO / AC = PO / BS = AD / (BS + AD). Από αυτό προκύπτει ότι PO = BC * AD / (BS + AD). Ομοίως, από την ομοιότητα των τριγώνων DKK και DBS προκύπτει ότι OK = BS * AD / (BS + AD). Από αυτό προκύπτει ότι PO = OK και PK = 2 * BS * AD / (BS + AD). Το τμήμα που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγώνων παράλληλα προς τις βάσεις και συνδέει τις δύο πλευρικές πλευρές διαιρείται με το σημείο τομής στο μισό. Το μήκος του είναι η μέση αρμονική βάση του σχήματος.

Εξετάστε την ακόλουθη τραπεζοειδή ποιότητα, η οποία ονομάζεται ιδιοκτησία τεσσάρων σημείων. Τα σημεία διασταύρωσης των διαγωνίων (O), οι τομές των διαστάσεων των πλευρικών πλευρών (E), καθώς και η μέση των βάσεων (T και M) βρίσκονται πάντα σε μία γραμμή. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα από τη μέθοδο ομοιότητας. Τα τρίγωνα BEC και AED που αποκτώνται είναι παρόμοια και σε κάθε ένα από αυτά τα διάκενα ET και EF διαιρούν τη γωνία στην κορυφή του Ε σε ίσα μέρη. Συνεπώς, τα σημεία Ε, Τ και Μ βρίσκονται σε μία γραμμή. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, τα σημεία T, 0 και M βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή. Όλα αυτά προκύπτουν από την ομοιότητα των τριγώνων BOS και AOD. Επομένως, συμπεραίνουμε ότι και τα τέσσερα σημεία - E, T, O και M - θα βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή.

Χρησιμοποιώντας παρόμοια trapezes, μπορείτε να ζητήσετε από τους μαθητές να βρουν το μήκος του τμήματος (LF), το οποίο σπάει το σχήμα σε δύο παρόμοιες. Αυτό το τμήμα πρέπει να είναι παράλληλο με τις βάσεις. Δεδομένου ότι τα ληφθέντα τραπεζοειδή των ALFD και LBSF είναι παρόμοια, τότε BS / LF = LF / AD. Έπεται ότι LF = √ (BS * AD). Έχουμε ότι το τμήμα που διαιρεί το τραπεζοειδές σε δύο παρόμοιες έχει μήκος ίσο με το μέσο γεωμετρικό μήκος της βάσης του σχήματος.

Ας εξετάσουμε το ακόλουθο ομοιότητα ιδιοκτησίας. Βασίζεται πάνω στο τμήμα που χωρίζει το τραπεζοειδές σε δύο τεμάχια ίσου μεγέθους. Αποδοχή ότι τμήμα τραπέζιο ABSD χωρίζεται σε δύο παρόμοιες EH. Από την κορυφή του Β μείωσε το ύψος του εν λόγω τμήματος είναι χωρισμένη σε δύο μέρη EN - Β1 και Β2. Λάβετε PABSD / 2 = (BS + ΕΗ) * V1 / 2 = (ΑΡ + ΕΗ) * Β2 / 2 = PABSD (ΒΡ + BS) * (B1 + B2) / 2. Περαιτέρω συνθέτουν το σύστημα, όπου η πρώτη εξίσωση (BS + ΕΗ) * Β1 = (ΒΡ + ΕΗ) * Β2 και δεύτερο (BS + ΕΗ) * Β1 = (ΒΡ + BS) * (B1 + B2) / 2. Επομένως, Β2 / B1 = (BS + ΕΗ) / (ΒΡ + ΕΗ) και BS + EH = ((BS + ΒΡ) / 2) * (1 + Β2 / Β1). Βρίσκουμε ότι το μήκος της διαιρέσεως του τραπεζοειδούς σε δύο ίσες, ισούται με το μέσο όρο των μηκών των τετραγωνική βάσεων: √ ((CN2 + aq2) / 2).

συμπεράσματα ομοιότητα

Έτσι, έχουμε αποδείξει ότι:

1. Το τμήμα που συνδέει το κέντρο της τραπεζοειδούς στις πλάγιες πλευρές, παράλληλες προς ΒΡ και BS και BS είναι ο αριθμητικός μέσος όρος και (μήκος βάσης του τραπεζοειδούς) BP.

2. Η ράβδος διέρχεται από το σημείο Ο της τομής των διαγωνίων παράλληλων AD και BC θα είναι ίσες με τις αρμονικός μέσος αριθμούς ΒΡ και BS (2 * BS * AD / (AD + π.Χ.)).

3. Το τμήμα σπάσιμο σε παρόμοιες τραπεζοειδές έχει μήκος γεωμετρική μέση βάσεις BS και ΒΡ.

4. Το στοιχείο που χωρίζει το σχήμα σε δύο ίσου μεγέθους, ένα μήκος της μέσης τετραγωνικής αριθμούς ΒΡ και BS.

Για να εδραιώσει το υλικό και την ευαισθητοποίηση των δεσμών μεταξύ των τμημάτων του μαθητή είναι απαραίτητη για την κατασκευή τους για το συγκεκριμένο τραπεζίου. Μπορεί να εμφανίσετε εύκολα τη μέση γραμμή και το τμήμα που διέρχεται από το σημείο - το σημείο τομής των διαγωνίων των στοιχείων - παράλληλα με το έδαφος. Αλλά πού θα είναι το τρίτο και το τέταρτο; Η απάντηση αυτή θα οδηγήσει το μαθητή στην ανακάλυψη του αγνώστου σχέση μεταξύ των μέσων τιμών.

Τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου

Ας εξετάσουμε το ακόλουθο ιδιοκτησία του σχήματος. Δεχόμαστε ότι η ΜΝ τμήμα είναι παράλληλη προς τις βάσεις και χωρίζουν στη μέση διαγώνια. το σημείο τομής ονομάζεται W και S. Το τμήμα αυτό θα είναι ίσο με το ήμισυ της διαφοράς λόγο. Ας εξετάσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες. MSH - η μέση γραμμή του τριγώνου ABS, είναι ίσο με το BS / 2. Μίνι διακένου - η μεσαία γραμμή της DBA τρίγωνο, είναι ίση με AD / 2. Στη συνέχεια, θα διαπιστώσετε ότι SHSCH = μίνι διακένου-MSH, ως εκ τούτου SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + π.Χ.) / 2.

κέντρο βαρύτητας

Ας δούμε πώς μπορείτε να ορίσετε το στοιχείο για ένα συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να επεκτείνει τη βάση προς αντίθετες κατευθύνσεις. Τι σημαίνει αυτό; Είναι απαραίτητο να προστεθεί η βάση στο άνω κάτω - σε κάποιο από τα συμβαλλόμενα μέρη, για παράδειγμα, προς τα δεξιά. Μια χαμηλότερη παρατείνει το μήκος του άνω αριστερού. Στη συνέχεια, συνδέστε διαγώνια τους. Το σημείο τομής του συγκεκριμένου τμήματος με την κεντρική γραμμή του σχήματος είναι το κέντρο βάρους του τραπεζίου.

Ενεπίγραφες και περιγράφονται τραπέζιο

κατάλογος Ας διαθέτει τέτοια στοιχεία:

1. Γραμμή μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο μόνο αν είναι ισοσκελές.

2. γύρω από τον κύκλο μπορεί να περιγραφεί ως ένα τραπεζοειδές, υπό την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των μηκών των βάσεών τους είναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών.

Συνέπειες του εγγεγραμμένου κύκλου:

1. Το ύψος του τραπεζίου περιγράφεται πάντα ίσο με το διπλάσιο της ακτίνας.

2. Η πλευρά του τραπεζίου περιγράφεται προβάλλεται από το κέντρο του κύκλου σε ορθές γωνίες.

Η πρώτη συνέπεια είναι προφανές, και για να αποδείξει το δεύτερο οφείλει να αποδείξει ότι η γωνία της SOD είναι άμεση, δηλαδή, στην πραγματικότητα, επίσης, δεν είναι εύκολο. Αλλά η γνώση αυτού του ξενοδοχείου σας επιτρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο για την επίλυση προβλημάτων.

Τώρα προσδιορίζει τις συνέπειες για το ισοσκελές τραπέζιο, το οποίο είναι εγγεγραμμένο σε ένα κύκλο. Έχουμε λάβει ότι το ύψος είναι οι γεωμετρικές μέσες βάσεις Σχήμα: Η = 2Κ = √ (BS * ΒΡ). Η εκπλήρωση της βασικής μεθόδου επίλυσης προβλημάτων για τραπέζια (η αρχή των δύο ύψη), ο φοιτητής πρέπει να λύσει το εξής έργο. Αποδοχή ότι η BT - το ύψος των ισοσκελές στοιχεία ABSD. Θα πρέπει να βρείτε τα τμήματα του ΑΤ και ΑΡ. Εφαρμόζοντας τον τύπο που περιγράφεται παραπάνω, θα κάνουμε δεν είναι δύσκολο.

Τώρα, ας εξηγήσει πώς να καθορίσει την ακτίνα του κύκλου από την περιοχή που περιγράφεται τραπεζοειδές. Παραλείπεται από την κορυφή ύψος Β στη βάση BP. Δεδομένου ότι ο κύκλος εγγεγραμμένων στον τραπεζίου, η BS + 2AB = ΒΡ ή ΑΒ = (BS + ΒΡ) / 2. Από το τρίγωνο ΑΒΝ εύρημα sinα = ΒΝ / 2 * ΑΒ = ΒΝ / (AD + π.Χ.). PABSD = (BS + ΒΡ) ΒΝ * / 2, BN = 2R. Λάβετε PABSD = (ΒΡ + BS) * R, έπεται ότι R = PABSD / (AD + π.Χ.).

.

Όλοι οι τύποι μέση γραμμή τραπέζιο

Τώρα ήρθε η ώρα να πάει στο τελευταίο στοιχείο αυτής της γεωμετρικό σχήμα. Θα καταλάβουμε, τι είναι η μεσαία γραμμή του τραπεζίου (Μ):

1. Μέσω βάσεις: M = (A + B) / 2.

2. Μετά το ύψος, τη βάση και τις γωνίες:

• Μ-Η = Α * (ctgα + ctgβ) / 2?

• Μ + Η = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Μέσα από ένα ύψος και διαγώνια γωνία μεταξύ τους. Για παράδειγμα, D1 και D2 - διαγώνιο του τραπεζίου? α, β - η γωνία μεταξύ τους:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2Η.

4. Εντός της περιοχής και ύψος: M = R / Ν