Αυτό είναι εφαπτομένη του κύκλου; Ιδιότητες του εφαπτομένη του κύκλου. Η κοινή εφαπτομένη στους δύο κύκλους

Τέμνουσες, εφαπτόμενες - όλα αυτά εκατοντάδες φορές θα μπορούσε να ακουστεί σχετικά με τα μαθήματα γεωμετρίας. Αλλά το θέμα του σχολείου πίσω, να περάσει το χρόνο, και όλη αυτή η γνώση ξεχάσει. Τι πρέπει να θυμάμαι;

ουσία

Ο όρος «εφαπτομένη του κύκλου» σημάδι, ίσως, τα πάντα. Αλλά είναι απίθανο ότι όλοι θα διαμορφώσει γρήγορα έναν ορισμό. Εν τω μεταξύ, ονομάζεται εφαπτομένη που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τον κύκλο που τέμνει σε ένα μόνο σημείο. μυριάδες τους μπορεί να υπάρχουν, αλλά όλοι έχουν τις ίδιες ιδιότητες, οι οποίες θα συζητηθούν παρακάτω. Όπως μπορείτε να μαντέψετε, το σημείο επαφής που αναφέρεται στον τόπο όπου ο κύκλος και η γραμμή τέμνει. Σε κάθε περίπτωση, είναι ένα, αν υπάρχουν περισσότερα, τότε θα είναι εγκάρσια.

Η ιστορία της ανακάλυψης και μελέτης

Η έννοια της εφαπτομένης εμφανίστηκε στην αρχαιότητα. Η κατασκευή αυτών των γραμμών στο πρώτο κύκλο, και στη συνέχεια με τις ελλείψεις, παραβολές και υπερβολές με ένα χάρακα και μια πυξίδα που πραγματοποιήθηκε ακόμη στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης της γεωμετρίας. Φυσικά, η ιστορία δεν έχει διατηρήσει το όνομα του ανακάλυψε, αλλά είναι σαφές ότι ακόμη και εκείνη την εποχή οι άνθρωποι ήταν γνωστές ιδιότητες του εφαπτομένη του κύκλου.

Στη σύγχρονη εποχή το ενδιαφέρον για το φαινόμενο αυτό εκδηλώθηκε και πάλι - ξεκίνησε ένα νέο γύρο της μελέτης της έννοιας αυτής, σε συνδυασμό με το άνοιγμα νέων καμπύλες. Έτσι, ο Γαλιλαίος εισήγαγε την έννοια της κυκλοειδής και Φερμά και ο Καρτέσιος έχτισε μια εφαπτόμενη σε αυτό. Όσο για τους κύκλους, όπως φαίνεται, είναι για τα αρχαία μυστικά μείνει σε αυτόν τον τομέα.

ιδιότητες

Ακτίνα προσοχή στο σημείο τομής θα είναι κάθετη προς τη γραμμή. αυτό κύρια, αλλά όχι η μόνη ιδιότητα που είναι εφαπτομένη του κύκλου. Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό περιλαμβάνει ήδη δύο ευθείες. Έτσι, μέσα από ένα μόνο σημείο, το οποίο βρίσκεται έξω από τον κύκλο, είναι δυνατό να εξαχθούν δύο εφαπτόμενες, και τα μήκη τους είναι ίσες. Υπάρχει και ένα άλλο θεώρημα για το θέμα αυτό, αλλά σπάνια πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο του κανονικού σχολείου φυσικά, αλλά είναι εξαιρετικά χρήσιμη για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων. Στη συνέχεια, ως εξής. Από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη και τέμνουσας σε αυτό. Συγκροτήθηκε τμήματα ΑΒ, AC και AD. Α - το σημείο τομής των γραμμών, Β το σημείο επαφής, C και D - διέλευσης. Σε αυτή την περίπτωση, η ακόλουθη εξίσωση ισχύει: το μήκος της εφαπτομένης στον κύκλο, τετράγωνο, ισούται με το γινόμενο των τμημάτων AC και AD.

Από τα προηγούμενα, υπάρχει ένα σημαντικό συμπλήρωμα. Για κάθε σημείο του κύκλου, μπορείτε να οικοδομήσουμε μια εφαπτομένη, αλλά μόνο ένα. Η απόδειξη γι 'αυτό είναι αρκετά απλή: στη θεωρία προς τα κάτω για να το κάθετο από την ακτίνα, διαπιστώνουμε ότι σχηματίζεται ένα τρίγωνο δεν μπορεί να υπάρξει. Και αυτό σημαίνει ότι η εφαπτόμενη - η μόνη.

κτίριο

Μεταξύ άλλων καθηκόντων στη γεωμετρία είναι μια ειδική κατηγορία, κατά κανόνα, δεν έχει αγαπηθεί από τους μαθητές και τους φοιτητές. Για την επίλυση των καθηκόντων αυτής της κατηγορίας χρειάζονται μόνο μια πυξίδα και ένα χάρακα. Είναι το καθήκον του κτιρίου. Εκεί χτίζουν σε μια εφαπτομένη.

Έτσι, δίνεται ένα κύκλο και ένα σημείο που βρίσκεται εκτός των συνόρων της. Και θα πρέπει να περιηγηθείτε μέσα από αυτά εφαπτομένης. Πώς να το κάνουμε; Πρώτα απ 'όλα, θα πρέπει να περάσετε το διάστημα μεταξύ του κέντρου του κύκλου Ο και ορίστε το σημείο. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια μιας πυξίδας πρέπει να το διαιρέσει σε μισό. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να ρυθμίσετε την ακτίνα - λίγο περισσότερο από το ήμισυ της απόστασης μεταξύ του κέντρου του κύκλου και το αρχικό σημείο. Στη συνέχεια, θα πρέπει να οικοδομήσουμε δύο τεμνόμενες τόξα. Η ακτίνα στο μεταβολή δεν πρέπει να είναι η πυξίδα, και το κέντρο της κάθε πλευράς του κύκλου θα είναι το αρχικό σημείο, και Ο, αντίστοιχα. Μέρη τόξα διασταυρώσεις πρέπει να συνδέσετε αυτό το κομμένο τμήμα στο μισό. Ρωτήστε στο ακτίνα πυξίδα ίση με την απόσταση. Περαιτέρω, με το κέντρο στη διασταύρωση για να χτίσει ένα άλλο κύκλο. Θα πρέπει να βασίζεται τόσο στο αρχικό σημείο, και O. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν δύο διασταυρώσεις με αυτό το πρόβλημα σε έναν κύκλο. Αυτό θα είναι τα σημεία επαφής για την αρχικά καθορισμένο σημείο.

ενδιαφέρων

Πρόκειται για την οικοδόμηση μια εφαπτομένη του κύκλου οδήγησε στη γέννηση διαφορικού λογισμού. Το πρώτο έργο για το θέμα αυτό, δόθηκε στη δημοσιότητα από το διάσημο γερμανικό μαθηματικός Leibniz. Προέβλεπε τη δυνατότητα εύρεσης του μέγιστα, ελάχιστα και εφαπτόμενες, ανεξαρτήτως των κλασματικών και παράλογες ποσότητες. Λοιπόν, τώρα χρησιμοποιείται για πολλούς άλλους υπολογισμούς.

Επιπλέον, η εφαπτομένη του κύκλου σχετίζεται με το γεωμετρικό αίσθηση εφαπτομένη. Είναι από αυτό, και το όνομά του προέρχεται. Μετάφραση από τα λατινικά tangens - «εφάπτεται». Έτσι, η έννοια αυτή δεν είναι μόνο ένα γεωμετρία και διαφορικού λογισμού, αλλά με τριγωνομετρία.

δύο κύκλους

Δεν είναι πάντα εφαπτόμενη zatragivet μόνο ένα σχήμα. Εάν μπορείτε να περάσετε πάρα πολλές γραμμές σε ένα κύκλο, τότε γιατί να μην το αντίστροφο; Πιθανές. Αυτό είναι ακριβώς το πρόβλημα σε αυτή την περίπτωση είναι σοβαρά περίπλοκη, επειδή η εφαπτομένη των δύο κύκλων δεν μπορεί να περάσει μέσα από οποιοδήποτε σημείο, και η σχετική θέση όλων αυτών των στοιχείων μπορεί να είναι πολύ διαφορετικά.

Είδη και ποικιλίες

Όταν πρόκειται για τους δύο κύκλους και μία ή περισσότερες γραμμές, τότε ακόμα κι αν ξέρετε ότι είναι περίπου, δεν είναι αμέσως σαφές πώς όλα αυτά τα κομμάτια είναι διατεταγμένα σε σχέση με το άλλο. Σε αυτή τη βάση, υπάρχουν πολλές ποικιλίες. Έτσι, ο κύκλος μπορεί να έχει ένα ή δύο κοινά σημεία, ή και καθόλου. Στην πρώτη περίπτωση, θα επικαλύπτονται, και η δεύτερη - να αγγίξει. Και εδώ είναι δύο ποικιλίες. Αν ένα κύκλο, καθώς ενσωματώθηκαν στο δεύτερο, το άγγιγμα ονομάζεται εσωτερική, αν όχι - τότε το εξωτερικό. Κατανοήστε η σχετική θέση των κομματιών δεν μπορεί να βασίζεται μόνο στο σχέδιο, αλλά έχει πληροφορίες σχετικά με το άθροισμα των ακτίνων τους και την απόσταση μεταξύ των κέντρων τους. Εάν αυτές οι δύο τιμές είναι ίσες, τότε οι κύκλοι αγγίξει. Αν το πρώτο περισσότερα - τέμνονται και με άλλο τρόπο - δεν έχουν κοινά σημεία.

Έτσι είναι με ευθείες γραμμές. Για κάθε δύο κύκλους που υπάρχουν κοινά σημεία μπορεί να είναι
κατασκευάσει τέσσερις εφαπτόμενες. Δύο από αυτούς θα επικαλύπτονται μεταξύ των στοιχείων, που ονομάζονται εσωτερικά. Ένα ζευγάρι των άλλων - εξωτερικά.

Αν μιλάμε για κύκλους, οι οποίοι έχουν ένα κοινό σημείο, το πρόβλημα στα σοβαρά απλοποιημένη. Το γεγονός είναι ότι σε κάθε αμοιβαίο διακανονισμό, στην περίπτωση αυτή, η εφαπτομένη που θα έχει μόνο μία. Και θα περάσει μέσα από το σημείο τομής. Έτσι, ότι το κτίριο δεν θα προκαλέσει προβλήματα.

Αν τα στοιχεία είναι δύο σημεία τομής, τότε μπορεί να κατασκευαστεί γραμμή εφαπτομένη του κύκλου ως ένα, και το δεύτερο, αλλά μόνο έξω. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι παρόμοιο με αυτό που συζητείται αργότερα.

Η αντιμετώπιση των προκλήσεων

Τόσο οι εσωτερικές όσο και εξωτερικές εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο κτίριο δεν είναι τόσο απλό, όμως, και αυτό το πρόβλημα έχει λυθεί. Το γεγονός ότι η βοηθητική μοτίβο χρησιμοποιείται για αυτό, έτσι υπολογίσει μία τέτοια μέθοδο μόνες Είναι αρκετά προβληματική. Έτσι, δίνεται δύο κύκλους με διαφορετικές ακτίνες και κέντρα Ο1 και Ο2. Γι 'αυτούς, η ανάγκη για την κατασκευή δύο ζεύγη εφαπτόμενες.

Πρώτα απ 'όλα, γύρω από το κέντρο του μεγαλύτερου κύκλου για την κατασκευή υποστηρικτική. Την ίδια στιγμή στην πυξίδα πρέπει να ρυθμιστεί η διαφορά μεταξύ των ακτινών των δύο πρωτότυπα στοιχεία. Από το κέντρο του μικρότερου εφαπτομένη κύκλο στο βοηθητικό κατασκευαστεί. Μετά από αυτό των Ο1 και Ο2 πραγματοποιούνται perependikulyary αυτά κατ 'ευθείαν στο σημείο τομής με τα αρχικά στοιχεία. Όπως προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες της εφαπτομένης, οι απαιτούμενες σημεία που βρέθηκαν και στις δύο κύκλους. Το πρόβλημα λύνεται, τουλάχιστον στο πρώτο μέρος της.

Για να χτίσει εσωτερικές εφαπτόμενες πρέπει να λύσει σχεδόν ένα παρόμοιο πρόβλημα. Και πάλι, χρειαζόμαστε μια βοηθητική εικόνα, αλλά αυτή τη φορά η ακτίνα του είναι ίση με το άθροισμα του αρχικού. Για την κατασκευή εφαπτομένης από το κέντρο ενός από αυτούς τους κύκλους. Η περαιτέρω πορεία της απόφασης μπορεί να γίνει κατανοητή από το προηγούμενο παράδειγμα.

Η εφαπτομένη του κύκλου, ή ακόμα και δύο ή περισσότερα - δεν είναι και τόσο δύσκολο έργο. Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν από καιρό πάψει να λύσει παρόμοια προβλήματα με το χέρι και να εμπιστεύονται τον υπολογισμό ειδικά προγράμματα. Αλλά δεν νομίζω ότι είναι πλέον όχι κατ 'ανάγκη να είναι σε θέση να το κάνετε μόνοι σας, γιατί για μια σωστή διαμόρφωση της εργασίας για τον υπολογιστή να κάνει πολλά και να κατανοήσουν. Δυστυχώς, υπάρχουν φόβοι ότι μετά την τελική μετάβαση στο έντυπο δοκιμή των προβλημάτων ελέγχου των γνώσεων σχετικά με την κατασκευή, θα προκαλέσει τους μαθητές όλο και περισσότερες δυσκολίες.

Όσο για την εύρεση των κοινών εφαπτόμενες σε περισσότερους κύκλους, δεν είναι πάντα δυνατή, ακόμη και αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατό να βρεθεί μια τέτοια γραμμή.

παραδείγματα ζωή

Η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων βρίσκεται συχνά στην πράξη, αν και δεν είναι πάντα σαφής. Μεταφορείς, αρθρωτά συστήματα, μετάδοσης ιμάντες τροχαλίες, την ένταση του νήματος σε μια ραπτομηχανή, αλλά ακόμη και μόνο μία αλυσίδα ποδηλάτου - όλα τα παραδείγματα της ζωής. Έτσι, δεν πιστεύω ότι γεωμετρικά προβλήματα παραμένουν μόνο στη θεωρία: στη μηχανική, τη φυσική, την κατασκευή και πολλές άλλες περιοχές στην πρακτική χρήση.