Βάσεις μαθηματική ανάλυση. Πώς να βρείτε την παράγωγο;

Παραγώγου μιας συνάρτησης f (x) σε ένα όριο που ονομάζεται αναλογία ανάπτυξης ειδική λειτουργία σημείο x0 με την αύξηση του επιχειρήματος, υπό την προϋπόθεση ότι χ να είναι 0, και υπάρχει το όριο. Παράγωγα γενικά εγκεφαλικό επεισόδιο, μερικές φορές ενδιάμεσο σημείο ή μέσω ενός διαφορικού. Συχνά, το παράγωγο των διασυνοριακών παραπλανητικά αποτελέσματα, δεδομένου ότι μια τέτοια παράσταση χρησιμοποιείται σπάνια.

Λειτουργία, η οποία έχει το παράγωγο σε ένα συγκεκριμένο σημείο x0, που ονομάζεται διαφορίσιμη σε ένα τέτοιο σημείο. Ας υποθέσουμε, D1 - ένα πλήθος των σημείων στα οποία διαφοροποιείται η συνάρτηση f. Εκχώρηση σε κάθε έναν από τους αριθμούς x, που ανήκουν D f «(x), παίρνουμε την ονομασία πεδίο λειτουργίας D1. Αυτή η λειτουργία είναι παράγωγο του y = f (x). Ορίζεται ως: f «(x).

Επιπλέον, το παράγωγο που χρησιμοποιείται συνήθως σε φυσική και τη μηχανική. Σκεφτείτε ένα απλό παράδειγμα. Τα υλικά σημείο κινείται στον άξονα συντεταγμένων, όταν ρωτήθηκε τι ο νόμος της κίνησης, δηλαδή, x-συντεταγμένη του σημείου αυτού είναι γνωστή x (t) συνάρτηση. Κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος από t0 έως t0 + t ισούται με την μετατόπιση του σημείου x (t0 + t) -x (t0) = x, και μέση ταχύτητα V της (t) ισούται με x / t.

Μερικές φορές η φύση της κίνησης που παρουσιάζονται, έτσι ώστε η μέση ταχύτητα δεν αλλάζει σε μικρά χρονικά διαστήματα, πράγμα που σημαίνει ότι η κίνηση με μεγαλύτερη ακρίβεια θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφη. Εναλλακτικά, η τιμή της μέσης ταχύτητας, αν t0 εξής σε κάποια απολύτως ακριβή τιμή, και αναφέρεται ως η στιγμιαία ταχύτητα ν (t0) εκείνο το σημείο σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t0. Πιστεύεται ότι η στιγμιαία ταχύτητα ν (t) είναι γνωστή για κάθε διαφοροποιημένη λειτουργία x (t), σε ποιο v (t) είναι ίσο με x «(t). Με απλά λόγια, την ταχύτητα - είναι ένα παράγωγο των συντεταγμένων του χρόνου.

Στιγμιαία ταχύτητα έχει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές, και η τιμή είναι 0. Εάν είναι σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα (t1? T2) είναι θετική, τότε το σημείο κινείται προς την ίδια κατεύθυνση, δηλαδή, x (t) συντονίζει αυξάνει με το χρόνο, και εάν v (t) είναι αρνητική, τότε η x (t) συντονίζουν μειώνεται.

Σε πιο σύνθετες περιπτώσεις, το σημείο κινείται στο αεροπλάνο ή στο διάστημα. Στη συνέχεια, η ταχύτητα του - ένα διανυσματικό, και καθορίζει καθένα των συντεταγμένων του διανύσματος v (t).

Παρομοίως, μπορεί κανείς να συγκρίνει την επιτάχυνση του σημείου. Η ταχύτητα είναι μια συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή, ν = ν (t). Ένα παράγωγο μίας τέτοιας συνάρτησης - επιτάχυνση κίνησης: α = ν «(t). Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι η χρονική παράγωγος της ταχύτητας επιτάχυνσης.

Ας υποθέσουμε ότι y = f (x) - οποιαδήποτε διαφοροποιημένη λειτουργία. Στη συνέχεια, μπορούμε να θεωρήσουμε την κίνηση ενός σημείου στον άξονα συντεταγμένων, που πραγματοποιείται για το νόμο x = f (t). Μηχανική συντήρηση του παραγώγου δίνει τη δυνατότητα να παράσχει σαφή ερμηνεία των θεωρήματα του διαφορικού λογισμού.

Πώς να βρείτε την παράγωγο; Η εύρεση του παραγώγου μιας συνάρτησης ονομάζεται διαφοροποίηση της.

Τοποθετήστε τα παραδείγματα σας για το πώς να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Το παράγωγο της σταθερής συνάρτησης ίση με το μηδέν? παράγωγο του y = συνάρτησης χ είναι ίση με τη μονάδα.

Και πώς να βρείτε την παράγωγο του κλάσματος; Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε το εξής υλικό:

Για κάθε x0 <> 0 έχουμε

y / x = -1 / x0 * (χ + χ)

Υπάρχουν ορισμένοι κανόνες, πώς να βρείτε την παράγωγο. συγκεκριμένα:

Εάν οι λειτουργίες Α και Β είναι διαφοροποιημένα σημείο x0, τότε το άθροισμά τους διαφοροποιείται σε ένα σημείο: (Α + Β) «= Α» + Β». Με απλά λόγια, το παράγωγο του ποσού ίσο με το άθροισμα των παραγώγων. Εάν η λειτουργία διαφοροποιείται σε κάποιο σημείο, τότε θα πρέπει να αυξήσετε στο μηδέν όταν μετά από το επιχείρημα στο μηδέν κέρδος.

Εάν οι λειτουργίες Α και Β είναι διαφοροποιημένα σημείο x0, τότε το προϊόν τους διαφοροποιείται σε: (α * β) «= A'B + ΑΒ». (Οι τιμές λειτουργίες και τα παράγωγά τους που υπολογίζεται στο σημείο x0). Εάν η λειτουργία Α (x) διαφοροποιείται στο σημείο x0, και Γ - σταθερά, τότε η λειτουργία CA διαφοροποιείται σε αυτό το σημείο και (CA) «= CA». Δηλαδή, μια σταθερή παράγοντας που λαμβάνεται έξω από το πρόσημο της παραγώγου.

Εάν οι λειτουργίες Α και Β είναι διαφοροποιημένα σημείο x0, και η λειτουργία Β δεν είναι ίση με μηδέν, τότε η αναλογία τους διαφοροποιούνται επίσης σε: (Α / Β) «= (A'B-ΑΒ») / B * B.