Η εικασία του Riemann. Κατανομή των πρώτων αριθμών

Το 1900, ένας από τους μεγαλύτερους επιστήμονες του περασμένου αιώνα, ο David Hilbert έκανε μια λίστα που αποτελείται από 23 άλυτα προβλήματα των μαθηματικών. Οι εργασίες για τους είχε τεράστια επίδραση στην ανάπτυξη αυτού του τομέα της ανθρώπινης γνώσης. Μετά από 100 χρόνια στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay παρουσίασε μια λίστα με τα επτά προβλήματα, γνωστή ως στόχους της Χιλιετίας. Για την απόφαση του καθενός από αυτούς προσφέρθηκε το βραβείο των $ 1 εκατομμύριο.

Το μόνο πρόβλημα, το οποίο ήταν ένα από τα δύο καταλόγους του παζλ, για αιώνες δεν έδωσε ανάπαυση στους επιστήμονες, έγινε η υπόθεση Riemann. Είναι ακόμα σε αναμονή για την απόφασή του.

Σύντομα βιογραφικά στοιχεία

Georg Friedrich Bernhard Riemann γεννήθηκε το 1826 στο Αννόβερο, σε μια μεγάλη οικογένεια ενός φτωχού πάστορα, και έζησε μόλις 39 ετών. Κατάφερε να δημοσιεύσει 10 εργασίες. Ωστόσο, κατά τη διάρκεια της ζωής του Riemann που θεωρείται διάδοχος του δασκάλου του Johann Gauss. Στα 25 χρόνια τους νέους επιστήμονες υπερασπίστηκε τη διατριβή του «Ιδρύματα της θεωρίας των λειτουργιών μιας σύνθετης μεταβλητής.» Αργότερα διατυπώθηκε η υπόθεση του, η οποία έγινε διάσημη.

primes

Μαθηματικά ήρθε όταν ο άνθρωπος έμαθε να μετρήσει. Στη συνέχεια προέκυψε η πρώτη ιδέα των αριθμών, που αργότερα προσπάθησε να ταξινομήσει. Έχει παρατηρηθεί ότι ορισμένες από αυτές έχουν κοινές ιδιότητες. Ειδικότερα, μεταξύ των φυσικών αριθμών m. Ε εκείνα τα οποία χρησιμοποιήθηκαν για τον υπολογισμό (αρίθμηση) ή τον καθορισμένο αριθμό των αντικειμένων έχει διατεθεί μια ομάδα τέτοιων τα οποία χωρίζονται μόνο με ένα και οι ίδιοι. Τους κάλεσε απλό. Μια κομψή απόδειξη του θεωρήματος άπειρο σύνολο αριθμών δίνεται από τον Ευκλείδη στα «Στοιχεία» του. Αυτή τη στιγμή, συνεχίζουμε την αναζήτησή τους. Ειδικότερα, το μεγαλύτερο από ένα αριθμό γνωστών ² 74207281 - 1.

τύπου του Euler

Μαζί με την έννοια του απείρως πολλών πρώτων Ευκλείδης ορίζεται και το δεύτερο θεώρημα η μόνη δυνατή παραγοντοποίηση. Σύμφωνα με το οποιοδήποτε θετικό ακέραιο είναι το προϊόν ενός μόνο σετ των πρώτων αριθμών. Το 1737, ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός Leonhard Euler εκφράζονται πρώτο του θεώρημα του Ευκλείδη στο άπειρο του τύπου που δείχνεται παρακάτω.

Καλείται η λειτουργία ζήτα, όπου s - ένα σταθερό και το ρ είναι όλα απλή τιμές. Από την απευθείας ακολούθησε και έγκριση της μοναδικότητας της επέκτασης του Ευκλείδη.

Ζήτα συνάρτηση

τύπου του Euler στην πιό στενή επιθεώρηση είναι αρκετά αξιοσημείωτο, όπως δίδεται από το λόγο μεταξύ του απλού και ακέραιοι. Μετά από όλα, στην αριστερή πλευρά της πολλαπλασιάζονται απείρως πολλές εκφράσεις που εξαρτώνται μόνο από απλή, και στη σωστή ποσότητα σχετίζεται με όλους τους θετικούς ακέραιους.

Riemann συνέχισε Euler. Για να βρείτε το κλειδί για το πρόβλημα της κατανομής των αριθμών, προτείνεται να ορίσετε τον τύπο τόσο για την πραγματική και σύνθετης μεταβλητής. Ήταν εκείνη που αργότερα έγινε γνωστή ως η Ζήτα συνάρτηση. Το 1859 ο επιστήμονας δημοσίευσε ένα άρθρο με τίτλο «Από τον αριθμό των πρώτων αριθμών που δεν υπερβαίνει μια προκαθορισμένη τιμή», η οποία συνόψισε όλες τις ιδέες τους.

Riemann πρότεινε τη χρήση ενός αριθμού Euler, συγκλίνουν για όλους τους πραγματικούς s> 1. Αν ο ίδιος τύπος χρησιμοποιείται για πολύπλοκες s, τότε η σειρά θα συγκλίνει για κάθε τιμή της μεταβλητής με το πραγματικό μέρος είναι μεγαλύτερο από 1. Riemann χρησιμοποίησε την αναλυτική συνέχιση της διαδικασίας με την επέκταση του ορισμού του ζήτα (s) για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς, αλλά «ρίχνουν» μονάδα. Δεν ήταν δυνατή, διότι εάν s = 1 zeta λειτουργία αυξάνει προς το άπειρο.

πρακτικό νόημα

Τίθεται το ερώτημα: τι είναι ενδιαφέρουσα και σημαντική λειτουργία ζήτα, το οποίο είναι ζωτικής σημασίας για το έργο του Riemann για την μηδενική υπόθεση; Όπως γνωρίζετε, αυτή τη στιγμή δεν βρέθηκε ένα απλό σχέδιο που περιγράφει την κατανομή των πρώτων αριθμών μεταξύ των φυσικών. Riemann σε θέση να ανιχνεύσει ότι ο αριθμός των pi (x) των πρώτων αριθμών, τα οποία δεν είναι ανώτερη από το Χ, εκφράζεται από την κατανομή του μη τετριμμένη λειτουργίας μηδέν ζήτα. Επιπλέον, η υπόθεση Riemann είναι απαραίτητη προϋπόθεση, προκειμένου να αποδειχθεί προσωρινή αξιολογήσεων ορισμένων κρυπτογραφικών αλγορίθμων.

Η υπόθεση Riemann

Μία από τις πρώτες συνθέσεις του μαθηματικού προβλήματος, δεν έχει αποδειχθεί μέχρι σήμερα, είναι: τετριμμένη λειτουργία 0 ζήτα - μιγαδικών αριθμών με πραγματικό μέρος ίσο με ½. Με άλλα λόγια, αυτά είναι διατεταγμένα σε μια ευθεία γραμμή Re s = ½.

Υπάρχει επίσης μια γενικευμένη Riemann υπόθεση, η οποία είναι η ίδια δήλωση, αλλά για γενίκευση των ζήτα-λειτουργιών, τα οποία ονομάζονται ο Dirichlet (βλ. παρακάτω φωτογραφία) L-λειτουργίες.

Στον τύπο χ (n) - ένα αριθμητικό χαρακτήρα (mod k).

Δήλωση Riemann είναι η λεγόμενη μηδενική υπόθεση, όπως έχει επιβεβαιωθεί για λόγους συνέπειας με τα υπάρχοντα δεδομένα του δείγματος.

Όπως υποστήριξε Riemann

Σημείωση Γερμανός μαθηματικός είχε αρχικά διατυπωθεί αρκετά άνετα. Το γεγονός είναι ότι εκείνη την εποχή ο επιστήμονας επρόκειτο να αποδείξουμε ένα θεώρημα σχετικά με την κατανομή των πρώτων αριθμών, και στο πλαίσιο αυτό, η υπόθεση αυτή δεν έχει τόσο μεγάλη επίδραση. Ωστόσο, ο ρόλος της στην αντιμετώπιση των πολλών άλλων θεμάτων είναι τεράστια. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο η υπόθεση Riemann για τώρα πολλοί επιστήμονες αναγνωρίζουν τη σημασία της αναπόδεικτες μαθηματικών προβλημάτων.

Όπως έχει ειπωθεί, για να αποδείξει το θεώρημα σχετικά με τη διανομή του πλήρους υπόθεση Riemann δεν είναι απαραίτητη, και είναι λογικό να αποδείξει ότι το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένη μηδενική της συνάρτησης ζήτα είναι μεταξύ 0 και 1. Το ακίνητο αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα όλων των 0-m zeta λειτουργία που εμφανίζονται στην ακριβή τύπο παραπάνω, - πεπερασμένων σταθερή. Για μεγάλες τιμές του x, μπορεί όλα να χαθούν. Το μοναδικό μέλος του τύπου, το οποίο θα παραμείνει αμετάβλητο ακόμη και σε πολύ υψηλές x, χ είναι ο ίδιος. Το υπόλοιπο των σύνθετων όρων σε σχέση με αυτό ασυμπτωτικά εξαφανιστεί. Έτσι, το σταθμισμένο άθροισμα τείνει να x. Το γεγονός αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως απόδειξη της αλήθειας της Θεώρημα πρώτων αριθμών. Έτσι, τα μηδενικά της συνάρτησης Riemann ζήτα εμφανίζεται ένα ιδιαίτερο ρόλο. Είναι για να αποδείξει ότι οι αξίες αυτές δεν μπορούν να συμβάλουν σημαντικά στον τύπο επέκτασης.

οπαδούς Riemann

Ο τραγικός θάνατος από φυματίωση αποτραπεί ο επιστήμονας φέρει το λογικό τέλος του προγράμματος. Ωστόσο, πήρε τη σκυτάλη από τον W-F. de la Vallée νεοσσός και Zhak Adamar. Ανεξάρτητα από την άλλη είχαν αποσυρθεί Θεώρημα πρώτων αριθμών. Hadamard και νεοσσός κατάφερε να αποδείξει ότι όλα τα μη τετριμμένη λειτουργία 0 ζήτα βρίσκονται μέσα στην κρίσιμη ζώνη.

Χάρη στο έργο από αυτούς τους επιστήμονες, ένα νέο κλάδο των μαθηματικών - αναλυτική θεωρία των αριθμών. Αργότερα, άλλοι ερευνητές έχουν λάβει λίγο πιο πρωτόγονη απόδειξη του θεωρήματος δούλευε στη Ρώμη. Ειδικότερα, Pal Erdös και Atle Selberg έχουν ανοίξει ακόμη και επιβεβαιώνοντας εξαιρετικά πολύπλοκη αλυσίδα της λογικής, δεν απαιτούν τη χρήση πολύπλοκων ανάλυσης. Ωστόσο, σε αυτό το σημείο η ιδέα της Riemann από διάφορα σημαντικά θεωρήματα έχουν αποδειχθεί, συμπεριλαμβανομένης της προσέγγισης των πολλών λειτουργιών της θεωρίας αριθμών. Σε σχέση με αυτό το νέο έργο Erdős και Atle Selberg σχεδόν τίποτα δεν επηρεάζονται.

Ένα από το πιο απλό και πιο όμορφη απόδειξη του προβλήματος έχει βρεθεί το 1980 από τον Donald Newman. Βασίστηκε στο γνωστό θεώρημα Cauchy.

Απειλούνται αν η υπόθεση Riemann είναι η βάση της σύγχρονης κρυπτογραφίας

Κρυπτογράφηση δεδομένων προέκυψε με την εμφάνιση των χαρακτήρων, ή μάλλον, αυτοί οι ίδιοι μπορεί να θεωρηθεί ως το πρώτο κώδικα. Αυτή τη στιγμή, υπάρχει μια ολόκληρη νέα τάση της ψηφιακής κρυπτογράφησης, η οποία ασχολείται με την ανάπτυξη αλγορίθμων κρυπτογράφησης.

Απλή και «Ημιαπλοί» αριθμός m. Ε Εκείνα τα οποία χωρίζονται μόνο σε δύο άλλους αριθμούς της ίδιας κατηγορίας, αποτελούν τη βάση ενός δημόσιου κλειδιού σύστημα, γνωστό ως RSA. Έχει ευρεία εφαρμογή. Ειδικότερα, χρησιμοποιείται στην παραγωγή ηλεκτρονικής υπογραφής. Αν μιλάμε από την άποψη των διαθέσιμων «τσαγιέρα», η υπόθεση Riemann βεβαιώνει την ύπαρξη του συστήματος στην κατανομή των πρώτων αριθμών. Έτσι, μείωσε σημαντικά την αντίσταση των κρυπτογραφικών κλειδιών, από την οποία εξαρτάται η ασφάλεια των online συναλλαγών στο ηλεκτρονικό εμπόριο.

Άλλα άλυτα μαθηματικά προβλήματα

Πλήρης άρθρο αξίζει να αφιερώσει λίγα λόγια σε άλλα καθήκοντα της χιλιετίας. Σε αυτά περιλαμβάνονται:

• Ισότητα των κλάσεων P και NP. Το πρόβλημα έχει ως εξής: αν μια θετική απάντηση σε μια συγκεκριμένη ερώτηση επαληθεύεται σε πολυωνυμικό χρόνο, τότε είναι αλήθεια ότι ο ίδιος η απάντηση στο ερώτημα αυτό μπορεί να βρεθεί γρήγορα;
• Hodge εικασίες. Με απλά λόγια, μπορεί να αναφερθεί ως εξής: για ορισμένους τύπους προβολικών αλγεβρικό Πολλαπλότητες (κενά) κύκλοι Hodge είναι συνδυασμοί των αντικειμένων που έχουν μια γεωμετρική ερμηνεία, δηλαδή αλγεβρικό κύκλους ...
• Poincaré εικασίες. Είναι η μόνη αποδεδειγμένη τα προβλήματα στιγμή της χιλιετίας. Σύμφωνα με το οποιοδήποτε τρισδιάστατο αντικείμενο που έχει ειδικές ιδιότητες της σφαίρας 3-διαστάσεων, η σφαίρα πρέπει να είναι ακριβής στην παραμόρφωση.
• Έγκριση της κβαντικής Yang - Mills θεωρία. Πρέπει να αποδείξουμε ότι η κβαντική θεωρία, που προβάλλει αυτούς τους επιστήμονες στο χώρο R ^4, υπάρχει ένα 0-μάζα ελάττωμα για οποιαδήποτε απλή βαθμονόμηση ενός συμπαγούς ομάδας Γ
• Η υπόθεση του Birch - Swinnerton-Dyer. Αυτό είναι ένα άλλο πρόβλημα που σχετίζεται με κρυπτογραφία. Πρόκειται για τις ελλειπτικές καμπύλες.
• Το πρόβλημα της ύπαρξης και της ομαλότητας των λύσεων των εξισώσεων Navier - Stokes εξισώσεις.

Τώρα ξέρετε την υπόθεση Riemann. Με απλά λόγια, έχουμε διατυπώσει και μερικά από τα άλλα στόχων της χιλιετίας. Το γεγονός ότι θα πρέπει να επιλυθεί ή αποδεικνύεται ότι δεν έχουν λύση - είναι θέμα χρόνου. Και αυτό είναι απίθανο να χρειαστεί να περιμένουν πολύ καιρό, όπως τα μαθηματικά χρησιμοποιούν όλο και περισσότερο υπολογιστική ισχύ των υπολογιστών. Ωστόσο, δεν είναι όλα εξαρτάται από την τέχνη και την επίλυση επιστημονικών προβλημάτων απαιτεί πρωτίστως τη διαίσθηση και τη δημιουργικότητα.