Πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη: η διατύπωση

Πιστεύεται ότι υπήρχαν 10 000 χρόνια πριν, ο πρώτος ανθρώπινος πολιτισμός. Σε σύγκριση με την ηλικία του πλανήτη μας, η οποία, σύμφωνα με τους επιστήμονες, είναι περίπου 4.540.000 χρόνια παλιά, αυτό είναι μόνο μια σύντομη στιγμή. Γι 'αυτό η ανθρωπότητα «στιγμή» έχει κάνει ένα τεράστιο άλμα από τα πρωτόγονα πέτρινα εργαλεία για να διαπλανητικό διαστημόπλοιο. Δεν θα ήταν δυνατή, αν κατά καιρούς στον πλανήτη θα γεννηθεί μια ιδιοφυΐα, η επιστήμη κινείται προς τα εμπρός. Ανάμεσά τους, φυσικά, αναφέρεται Ευκλείδη. Τα έργα του έγινε το θεμέλιο και μια ισχυρή ώθηση για την ανάπτυξη των σύγχρονων μαθηματικών.

Αυτό το άρθρο είναι για το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη και την ιστορία της.

Πώς έκανε τη γεωμετρία

Από τα αγροτεμάχια αποτέλεσαν αντικείμενο του ενοικίου, το μέγεθος και την έκταση της πώλησης και παράδοση τους πρέπει να μετρηθεί, μεταξύ άλλων με τους υπολογισμούς. Επιπλέον, τέτοιοι υπολογισμοί καταστεί αναγκαία στην κατασκευή μεγάλης κλίμακας δομές, καθώς και τη μέτρηση του όγκου των διαφόρων ειδών. Όλα αυτά έχουν γίνει προϋποθέσεις 3-4 χιλιάδες χρόνια πριν στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα τέχνης αποτύπωση. Έχει εμπειρικά και είναι μια συλλογή από αρκετές εκατοντάδες παραδείγματα για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, χωρίς κανένα αποδεικτικό στοιχείο.

Ως συστηματική επιστήμη της γεωμετρίας αναπτύχθηκαν στην αρχαία Ελλάδα. Ήδη από τον τρίτο αιώνα π.Χ. υπήρχε μια μεγάλη προσφορά των γεγονότων και των μεθόδων αποδείξεις. Ωστόσο, προέκυψε το πρόβλημα επαρκώς εκτεταμένη για να συνοψίσει την συλλέχθηκε γεωμετρική υλικό. Προσπάθησε να λύσει Ιπποκράτη Fedii και άλλων αρχαίων Ελλήνων φιλοσόφων. Ωστόσο, λογικά επαληθεύεται επιστημονικά σύστημα υπήρχε μόνο περίπου 300 χρόνια π.Χ.. ε. με τη δημοσίευση του «Principia».

Ποιος ήταν ο Ευκλείδης

Αρχαία Ελλάδα έδωσε ο κόσμος πολλά από τους μεγαλύτερους φιλοσόφους και επιστήμονες. Ένα από αυτά είναι Ευκλείδης, ο οποίος έγινε ο ιδρυτής της Αλεξανδρινής σχολής μαθηματικών. Σχετικά με τον επιστήμονα σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό. Ορισμένες πηγές αναφέρουν ότι ο νεαρός μέλλον πατέρας της σύγχρονης γεωμετρίας σπούδασε στην περίφημη σχολή του Πλάτωνα στην Αθήνα, και στη συνέχεια επέστρεψε στην Αλεξάνδρεια, όπου συνέχισε να μελετήσει τα μαθηματικά και οπτική, καθώς και τη σύνθεση μουσικής. Στη γενέτειρά του, ίδρυσε ένα σχολείο, όπου, μαζί με τους μαθητές και δημιούργησε το διάσημο έργο του, η οποία για περισσότερο από δύο χιλιάδες χρόνια είναι η βάση για κάθε βιβλίο για την γεωμετρία αεροπλάνο και στερεά γεωμετρία.

«Στοιχεία» του Ευκλείδη

Ο κύριος και η πιο πρώτη συστηματική εργασία για την γεωμετρία αποτελείται από 13 τόμους. Τα πρώτα τέσσερα και το έκτο βιβλίο ασχολείται με τη γεωμετρία αεροπλάνο, και 11, 12 και 13 - στερεά γεωμετρία. Όσο για τους άλλους τόμους, που είναι αφιερωμένο στην αριθμητική, η οποία είναι από την άποψη της γεωμετρικά αξιώματα.

Ο ρόλος του κύριου έργου του Ευκλείδη στη μετέπειτα εξέλιξη των μαθηματικών επιστημών δεν μπορεί να υπερεκτιμηθεί. Σωζόμενο λίστες πάπυρο αρκετά από την αρχική, καθώς και βυζαντινά χειρόγραφα.

Κατά το Μεσαίωνα, «Στοιχεία» του Ευκλείδη μελετήθηκαν κυρίως από τους Άραβες, οι οποίοι τους ένα από τα σπουδαιότερα έργα της ανθρώπινης σκέψης και του επιστήμονα της Δαμασκού εξετάσει. Πολύ αργότερα αυτά τα έργα που ενδιαφέρονται για τους Ευρωπαίους. Με την έλευση της εκτύπωσης της επιστήμης, συμπεριλαμβανομένης της Ευκλείδειας γεωμετρίας δεν είναι γνωστή μόνο για τους εκλεκτούς. Μετά την πρώτη έκδοση το 1533. «Elements» είναι διαθέσιμα σε όλους όσους επιθυμούν να κατανοήσουν τον κόσμο, και εκεί είναι όλο και περισσότερο κάθε χρόνο. Η ζήτηση έχει δημιουργήσει εφοδιασμού, γι 'αυτό πιστεύεται ότι αυτό το έργο είναι η δεύτερη πιο πολυδιαβασμένο από τα μνημεία της αρχαιότητας, μετά τη Βίβλο.

ορισμένα χαρακτηριστικά

Το «Elements» περιγράφει τις μετρικές ιδιότητες των τρισδιάστατων, άδειο, απεριόριστες και ισότροπα χώρο, η οποία συνήθως ονομάζεται Ευκλείδεια. Θεωρείται ότι είναι μια αρένα όπου υπάρχουν φαινόμενα της κλασικής φυσικής του Γαλιλαίου και του Νεύτωνα.

Στοιχειακή γεωμετρικού αντικειμένου, σύμφωνα με την Ευκλείδης, είναι το σημείο. Η δεύτερη σημαντική έννοια - το άπειρο του χώρου, η οποία χαρακτηρίζεται από τα τρία πρώτα αξιώματα. Η τέταρτη αφορά την ισότητα των ορθές γωνίες. Όσον αφορά το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη, στη συνέχεια, καθορίζει τις ιδιότητες και τη γεωμετρία του Ευκλείδεια χώρο.

Σύμφωνα με τους επιστήμονες, κλασική πατέρας γεωμετρία δημιούργησε ένα τέλειο βιβλίο, η μελέτη της οποίας αποκλείει κάθε παρανόηση του υλικού λόγω του τρόπου παρουσίασης του. Ειδικότερα, κάθε τόμος των «Στοιχείων» αρχίζει με τον ορισμό των εννοιών που συναντώνται για πρώτη φορά. Συγκεκριμένα, από τις πρώτες σελίδες του 1ου βιβλίου ο αναγνώστης μαθαίνει ότι ένα σημείο, γραμμή, ευθεία και ούτω καθεξής. Συνολικά έχει 23 ορισμοί που απαιτούνται για την κατανόηση των βασικών διατάξεων του υλικού που παρουσιάζεται σε αυτό το θεμελιώδες έργο.

4 η πρώτη αξίωμα και υποθέτουν Euclid

Μετά από μια συγγραφέας του «Στοιχεία» προσφέρει τα αποτελέσματα που γίνονται δεκτά χωρίς αποδείξεις. Αυτά που χωρίζεται σε αξιώματα και αξιώματα. Η πρώτη ομάδα αποτελείται από 11 δηλώσεις που ο άνθρωπος είναι γνωστή διαισθητικά. Για παράδειγμα, 8η αξίωμα ότι το σύνολο είναι μεγαλύτερο από το μέρος, και σύμφωνα με τις δύο πρώτες ποσότητες, εκτός ίση με τρεις, ίσες μεταξύ τους.

Επιπλέον, 5 προκαλεί Ευκλείδης αξιώματα. Οι τέσσερις πρώτες έχουν ως εξής:

• από οποιοδήποτε σημείο σε οποιοδήποτε άλλο, μπορείτε να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή?
• από οποιοδήποτε κέντρο της κάθε ακτίνας είναι δυνατόν να περιγράψει έναν κύκλο?
• περιορισμένη γραμμή μπορεί να εκτείνεται συνεχώς σε μια ευθεία γραμμή?
• όλες ορθές γωνίες είναι ίσες.

πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη

Για πάνω από δύο χιλιετίες, η δήλωση αυτή κατ 'επανάληψη έγινε το αντικείμενο της προσοχής του μαθηματικοί. Αλλά πρώτα, θα εξοικειωθούν με το περιεχόμενο της πέμπτης αξίωμα του Ευκλείδη. Έτσι, στη σύγχρονη σκεύασμα ακούγεται σαν σε ένα αεροπλάνο στη διασταύρωση των δύο ευθείες μονόπλευρη τρίτο-άθροισμα των εσωτερικών γωνιών μικρότερη των 180 °, στη συνέχεια αυτές τις γραμμές ενώ συνεχίζεται αργά ή γρήγορα ανταποκρίνονται σε εκείνη την πλευρά επί της οποίας αυτή η ποσότητα (ύψος) μικρότερη από 180 °.

πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη, η οποία είναι η διατύπωση διαφορετικών πηγών είναι διαφορετική από την αρχή προκάλεσε το άθλημα και θέλουν να το μεταφράσει στην κατηγορία των θεωρημάτων με την κατασκευή ενός ηχομόνωση. Με την ευκαιρία, είναι συχνά αντικαθίσταται από άλλη έκφραση, στην πραγματικότητα, εφευρέθηκε καταραμένη και επίσης γνωστό ως το αξίωμα της Playfair. Το άρθρο αυτό έχει ως εξής: σε ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο που δεν ανήκει σε μια δεδομένη γραμμή μπορεί να κατέχει μία και μόνο μία ευθεία γραμμή παράλληλη προς αυτό.

γλώσσα

Όπως έχει ήδη αναφερθεί, πολλοί επιστήμονες έχουν δοκιμάσει διαφορετικές εκφράσει την ιδέα του 5ου αξίωμα του Ευκλείδη. Πολλά σκευάσματα είναι αρκετά προφανής. Για παράδειγμα:

• συγκλίνουσες γραμμές τέμνονται?
• υπάρχει τουλάχιστον ένα ορθογώνιο, δηλαδή, 4-τετράγωνο με τέσσερις ορθές γωνίες?
• κάθε αριθμός μπορεί να αυξηθεί αναλογικά?
• υπάρχει ένα τρίγωνο έχει καμία, αυθαίρετα μεγάλη περιοχή.

ελλείψεις

Ευκλείδεια γεωμετρία ήταν η μεγαλύτερη μαθηματική έργα της αρχαιότητας και μέχρι τον 19ο αιώνα, που βασίλεψε αδιαμφισβήτητη στα μαθηματικά. Παρ 'όλα αυτά, ορισμένες από τις ατέλειές της έχουν σημειωθεί ακόμη και από τους συγχρόνους του συγγραφέα, και την αρχαία ελληνική λόγιος, ο οποίος έζησε λίγο αργότερα. Ειδικότερα, έχει προσθέσει ένα νέο αξίωμα του Αρχιμήδη, πήρε το όνομά του. Λέει ότι υπάρχει ένας ακέραιος n, η οποία είναι n · [AB]> [CD] για όλα τα τμήματα ΑΒ και CD.

Επιπλέον, οι επιστήμονες έχουν προσπαθήσει να ελαχιστοποιήσει το σύστημα της Ευκλείδειας αξιώματα και αξιώματα. Για να το κάνετε αυτό, πήραν κάποια από αυτά έξω από το υπόλοιπο.

Έτσι, κατάφερε να «ξεφορτωθεί» του 4ου αξίωμα της ισότητας των ορθές γωνίες. Γι 'αυτόν, μια αυστηρή απόδειξη βρέθηκε, οπότε μετακόμισε στην κατηγορία των θεωρημάτων.

Ιστορία 5 αξίωμα στην αρχαιότητα και τις αρχές του Μεσαίωνα

Η κλασική διατύπωση αυτής της δήλωσης Ευκλείδεια γεωμετρία φαίνεται πολύ λιγότερο εμφανή από ό, τι τα άλλα τέσσερα. Είναι αυτό το γεγονός στοιχειωμένο μαθηματικοί.

Το εμπόδιο για την πέμπτη Ευκλείδειο αξίωμα ήταν ο ορισμός της παραλληλότητας των δύο γραμμών Α και Β, δηλώνοντας ότι το άθροισμα των δύο μονομερών γωνίες που σχηματίζονται από την τομή των Α και Β μια τρίτη ευθεία γραμμή γ, ίση με 180 μοίρες.

Η πρώτη προσπάθεια για να το αποδείξει ως θεώρημα έγινε από την αρχαία ελληνική γεωμέτρης Ποσειδώνιο. Πρότεινε να εξετάσει μια άμεση παράλληλη προς το επίπεδο του συνόλου όλων των σημείων που βρίσκονται σε ίση απόσταση από το αρχικό. Ωστόσο, ακόμη και αυτό δεν επιτρέπει τον Ποσειδώνιο βρει αποδείξεις 5ο αξίωμα.

Ούτε να μην εκμεταλλευτεί και τις προσπάθειες των άλλων μαθηματικοί, συμπεριλαμβανομένων μεσαιωνική, όπως το Άραβες ιμπν Korra και Καγιάμ. Το μόνο πράγμα που έχει επιτευχθεί - η εμφάνιση νέων αξιωμάτων, η οποία μπορεί να αποδειχθεί βασίζεται σε διάφορες υποθέσεις.

Στις 18-19-ου αιώνα

Κλασική γεωμετρία συνέχισε να ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά και τον 18ο αιώνα. Ειδικότερα, αρκετά κοντά στην απόδειξη παράλληλο αξίωμα θα μπορούσε να έρθει Γάλλο μαθηματικό Α Legendre. Έγραψε μια εξαιρετική βιβλίο «Στοιχεία της γεωμετρίας», το οποίο είναι περίπου 150 χρόνια ήταν η αρχή της διδασκαλίας των μαθηματικών στα σχολεία Ρωσικής Αυτοκρατορίας. Σε αυτό ο επιστήμονας έδωσε τρεις επιλογές για να αποδείξει την Ευκλείδεια παράλληλη αξίωμα, αλλά όλοι αποδείχθηκε ότι ήταν λανθασμένη.

Από τις αρχές του 19ου αιώνα, η ιδέα της δημιουργίας ενός μη Ευκλείδεια γεωμετρία. Η πρώτη περιγραφή του συστήματος, ανεξάρτητα από το πέμπτο αξίωμα, οδήγησε ένα στρατιωτικό μηχανικό J. Bolyai. Αλλά ήταν φοβισμένος από την ανακάλυψη του και δεν ακολούθησε την ιδέα, πιστεύοντας λάθος. Η επιτυχία δεν ήταν σε θέση να επιτύχει και ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός Gauss.

επανάσταση

Για περισσότερο από 2000 χρόνια πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη, η απόδειξη της οποίας προσπάθησε να βρει εκατοντάδες επιστήμονες, παραμένει το υπ 'αριθμόν ένα πρόβλημα στα μαθηματικά. Θεαματική γίνει ρώσος μαθηματικός NI Lobachevsky. Γι 'αυτόν το πρώτο στον κόσμο κατάφερε να περιγράφουν τις ιδιότητες του πραγματικού χώρου, αποδεικνύοντας ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία «δουλεύει» μόνο στη συγκεκριμένη περίπτωση το σύστημά του.

Ν Ι Lobachevsky αρχικά κατέβηκε την ίδια πορεία με εκείνη των συναδέλφων του. Προσπαθώντας να αποδείξει το 5ο αξίωμα, δεν έχει καταφέρει. Στη συνέχεια, ο επιστήμονας αρνήθηκε Ευκλείδεια αναπαράσταση, σύμφωνα με την οποία οι γωνίες ενός ποσού τριγώνου ίση με 180 μοίρες. Στη συνέχεια, προσπάθησε να αποδείξει τον ισχυρισμό αυτό με την αντίφαση και πήρε μια νέα διατύπωση για το πέμπτο αξίωμα. Τώρα, παραδέχτηκε την ύπαρξη πολλών γραμμών παράλληλα με αυτό, και περνώντας μέσα από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από αυτή τη γραμμή.

νέα γεωμετρία

Δεν έχει κανένα νόημα να συζητήσουμε ποιος έχει κάνει περισσότερα για τα μαθηματικά. Ο ρόλος του Ευκλείδη και Lobachevsky ανάλογη επιρροή στη διαμόρφωση και την ανάπτυξη του Νεύτωνα και της φυσικής του Αϊνστάιν. Την ίδια στιγμή, η νέα, απόλυτη γεωμετρία είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι η έννοια του χώρου, το σπάσιμο μακριά από την κλασσική μέθοδο «μπορεί να καταλάβει μόνο ό, τι μπορεί να μετρηθεί.» Αλλά μια τέτοια προσέγγιση εφαρμόζεται στην επιστήμη για χιλιάδες χρόνια.

Δυστυχώς, οι ιδέες του Lobachevskii γεωμετρίας δεν έγιναν δεκτές και κατανοητή από τους συγχρόνους του. Συγκεκριμένα, οι μαθητές του δεν συνέχισε το έργο του επιστήμονα, και η ανάπτυξη των μη Ευκλείδεια γεωμετρία καθυστέρησε για αρκετές δεκαετίες.

Μερικά χαρακτηριστικά της θεωρίας Lobachevskii

Για να κατανοήσουμε τη νέα γεωμετρία, είναι απαραίτητο να εξεταστεί η κοσμική άπειρο. Πράγματι, είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι η απεραντοσύνη του σύμπαντος είναι το άθροισμα των γραμμικών χώρων.

Lobachevsky γεωμετρία χρησιμοποιείται για να περιγράψει καμπύλο χώρους που δημιουργούνται από τις βαρυτικά πεδία των γαλαξιών. Έχει τη δυνατότητα να απομακρυνθεί από τη μέθοδο της προσοχής της όλα τα στοιχεία για το «σχετικά με το δικαίωμα» του κυλίνδρου, κύκλος, πυραμίδα, ή οποιοδήποτε συνδυασμό αυτών των σχημάτων. Για, παράδειγμα, στην πραγματικότητα, ο πλανήτης μας - καμία μπάλα, και το γεωειδές, δηλαδή, ένας αριθμός που λαμβάνεται με διαμόρφωσης περιγράμματος το εξωτερικό περίγραμμα της λιθόσφαιρας (σκληρό κέλυφος) της Γης ...

Στην πραγματική ζωή, υπάρχουν και τα ανάλογα των καμπύλων χώρων του σύμπαντος, η οποία σας επιτρέπει να εισαγάγει τη δυνατότητα για την ύπαρξη πολλών παράλληλων γραμμών που διέρχεται μέσα από το ίδιο σημείο. Συγκεκριμένα, αυτή η κυρτή επιφάνεια των τριών τύπων που έχουν κατανεμηθεί ιταλική γεωμέτρης Beltrami και ονομάστηκε Ε pseudosphere.

Η περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας της Lobachevsky

Εξαιρετική ρωσική δεν ήταν ο μόνος που δεν θα έπρεπε απολυτότητα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ειδικότερα, ο μαθηματικός Riemann το 1854 πρότεινε την ιδέα για την πιθανότητα ύπαρξης χώρων μηδενική, θετική και αρνητική καμπυλότητα. Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να δημιουργήσετε έναν άπειρο αριθμό διαφορετικών μη-κλασική γεωμετρία.

Στη θέση του Riemann, ο οποίος έχει μελετήσει κυρίως χώρο με θετική καμπυλότητα, το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη ακούγεται εντελώς αναπάντεχα. Σύμφωνα με τις ιδέες του, μέσα από ένα σημείο έξω από μια συγκεκριμένη γραμμή δεν μπορεί να κρατήσει οποιαδήποτε γραμμή παράλληλη προς αυτό.

Πολύ διαφορετική είναι η περίπτωση με τις μηδενικές θέσεις, αρνητική και θετική καμπυλότητα της θεωρίας του Klein. Ειδικότερα, στην πρώτη περίπτωση, που περιγράφονται από παραβολική γεωμετρία, μια ειδική περίπτωση, που είναι η κλασική, η δεύτερη - υπακούσει Lobachevskian ιδέες, και το τρίτο - συνεπείς με αυτές που περιγράφονται από τον Riemann.

Μετά τη δημοσίευση της Αλμπέρτα Eynshteyna Θεωρία της Σχετικότητας, η υποβολή των εν λόγω χώρων συμπληρώνουν τα στοιχεία που λαμβάνουν υπόψη την ύπαρξη τεσσάρων αλληλοεξαρτώμενων και την αλλαγή μετρήσεις - το βάρος, τη δύναμη, την ταχύτητα και το χρόνο.

στην πράξη

Αν πάτε στην ανθρώπινη αντίληψη του χώρου μέσα από την τροχιά της Γης για το γιγαντιαίο μεγαλύτερο δυνατό τρίγωνο της πιθανής απόκλισης από το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών 180 μοίρες κλασικής κάνουν μόνο τέσσερα εκατομμυριοστά του δευτερολέπτου. Αυτή η τιμή είναι πέρα από τις δυνατότητες του homo sapiens, έτσι ώστε «γήινο» της ζήτησης είναι Ευκλείδεια γεωμετρία.

Μένει να περιμένουμε μέχρι δημιουργούνται συνθήκες που επιτρέπουν να ληφθεί πειραματικά δεδομένα για να επιβεβαιωθεί ή να αντικρούσει την θεωρία του N. Lobachevsky και Riemann σε όλη την γαλαξία.

Τώρα ξέρετε ότι δηλώνει πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη και την ιστορία της, η οποία είναι πολύ διδακτική, και μας επιτρέπει να εντοπίζουν την εξέλιξη του ανθρώπινου νου τα τελευταία 2.300 χρόνια.