Το αόριστο ολοκλήρωμα. Υπολογισμός του αορίστου ολοκληρώματος

Ένα από τα βασικά τμήματα της μαθηματικής ανάλυσης είναι το αναπόσπαστο λογισμός. Καλύπτει ένα πολύ ευρύ πεδίο αντικειμένων, όπου το πρώτο - αυτό είναι το αόριστο ολοκλήρωμα. Θέση στέκεται σαν ένα κλειδί που είναι ακόμα στο γυμνάσιο αποκαλύπτει έναν αυξανόμενο αριθμό των προοπτικών και ευκαιριών, το οποίο περιγράφει ανώτερα μαθηματικά.

εμφάνιση

Με την πρώτη ματιά, φαίνεται εντελώς αναπόσπαστο σύγχρονο, επίκαιρο, αλλά στην πράξη αποδεικνύεται ότι ήρθε πίσω στο 1800 π.Χ.. Αρχική σελίδα για να θεωρείται επισήμως την Αίγυπτο και δεν μας φτάνουν νωρίτερα απόδειξη της ύπαρξής του. Αυτό οφείλεται στην έλλειψη πληροφόρησης, όλο αυτό το διάστημα που βρίσκεται απλά ως ένα φαινόμενο. Ο ίδιος για μια ακόμη φορά επιβεβαιώνει το επίπεδο της επιστημονικής ανάπτυξης των λαών της εποχής εκείνης. Τέλος, οι εργασίες βρίσκονται τα αρχαία ελληνικά μαθηματικοί, που χρονολογούνται από τον 4ο αιώνα π.Χ.. Περιγράφουν τη μέθοδο που χρησιμοποιείται όταν η αόριστο ολοκλήρωμα, η ουσία της οποίας ήταν να βρεθεί τον όγκο ή την περιοχή ενός καμπυλόγραμμο σχήμα (τρισδιάστατο και δισδιάστατο επίπεδο, αντίστοιχα). υπολογισμός βασίστηκε στην αρχή της διαίρεσης του αρχικού σχήματος σε απειροελάχιστη συστατικά, υπό την προϋπόθεση ότι ο όγκος (περιοχή) είναι ήδη γνωστή σε αυτούς. Την πάροδο του χρόνου, η μέθοδος έχει αυξηθεί, ο Αρχιμήδης χρησιμοποίησε για να βρει την περιοχή της παραβολής. Παρόμοια υπολογισμούς ταυτόχρονα να διεξάγει ασκήσεις στην αρχαία Κίνα, όπου ήταν εντελώς ανεξάρτητη από την ελληνική συναδέλφους της επιστήμης.

ανάπτυξη

Η επόμενη σημαντική ανακάλυψη στην XI αιώνα π.Χ., έχει γίνει το έργο του Αραβικού λόγιος «βαγόνι» Abu Ali al-Basri, ο οποίος έσπρωξε τα όρια των ήδη γνωστών, προήλθαν από το ενιαίο τύπο για τον υπολογισμό των ποσών των ποσών και των βαθμών από τον πρώτο έως τον τέταρτο, που υποβάλλουν αίτηση για αυτό το γνωστό σε εμάς επαγωγή μέθοδο.
Τα μυαλά του σήμερα θαυμάζουν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δημιούργησαν τα καταπληκτικά μνημεία χωρίς ειδικά εργαλεία, εκτός εκείνων του τα χέρια τους, αλλά δεν είναι μια δύναμη τρελούς επιστήμονες του όχι λιγότερο χρόνο ένα θαύμα; Σε σύγκριση με τα σημερινά δεδομένα της ζωής τους φαίνεται σχεδόν πρωτόγονη, αλλά η απόφαση του αορίστου ολοκληρώματος προκύπτει παντού και χρησιμοποιούνται στην πράξη για την περαιτέρω ανάπτυξη.

Το επόμενο βήμα έγινε στο XVI αιώνα, όταν ο Ιταλός μαθηματικός Cavalieri έφερε αδιαίρετη μέθοδο, η οποία πήρε Ανά Φέρμα. Αυτά τα δύο προσωπικότητα έθεσε τα θεμέλια για τη σύγχρονη ολοκληρωτικού λογισμού, το οποίο είναι γνωστό αυτή τη στιγμή. Έδεσαν τις έννοιες της διαφοροποίησης και της ολοκλήρωσης, τα οποία είχαν προηγουμένως θεωρηθεί ως αυτόνομες μονάδες. Σε γενικές γραμμές, οι μαθηματικά του εκείνη την εποχή ήταν κατακερματισμένο σωματίδια υπάρχουν ευρήματα από μόνα τους, με περιορισμένη χρήση. Τρόπος για να ενώσει και να βρουν κοινό έδαφος ήταν η μόνη αληθινή αυτή τη στιγμή, χάρη σε αυτόν, η σύγχρονη μαθηματική ανάλυση είχαν την ευκαιρία να μεγαλώσουν και να αναπτυχθούν.

Με το πέρασμα του χρόνου αλλάζει τα πάντα και το ενιαίο σύμβολο, καθώς και. Σε γενικές γραμμές, αυτό ορίστηκε επιστήμονες οι οποίοι με τον δικό του τρόπο, για παράδειγμα, Newton χρησιμοποίησε ένα εικονίδιο πλατεία, η οποία έβαλε ολοκληρώσιμη συνάρτηση, ή απλά να βάλει μαζί. Αυτή η διαφορά κράτησε μέχρι το XVII αιώνα, όταν ένα ορόσημο για όλη την θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης επιστήμονα Gotfrid Leybnits εισήγαγε ένα τέτοιο χαρακτήρα οικεία σε μας. Επιμήκεις «S» είναι στην πραγματικότητα βασίζεται σε αυτή την επιστολή το λατινικό αλφάβητο, δεδομένου ότι δηλώνει το σύνολο των πρωτόγονων. Το όνομα του αναπόσπαστο λαμβάνεται χάρη στην Jakob Bernoulli, μετά από 15 χρόνια.

Ο επίσημος ορισμός

Το αόριστο ολοκλήρωμα εξαρτάται από τον ορισμό της πρωτόγονης, έτσι ώστε να το εξετάσει στην πρώτη θέση.

Αντιπαράγωγος - είναι η αντίστροφη συνάρτηση του παραγώγου, στην πράξη αυτό ονομάζεται πρωτόγονη. Διαφορετικά: πρωτόγονη λειτουργία της d - είναι μια λειτουργία D, η οποία είναι το παράγωγο v <=> V «= V. Αναζήτηση πρωτόγονη είναι να υπολογιστεί το αόριστο ολοκλήρωμα, και η ίδια η διαδικασία ονομάζεται ολοκλήρωσης.

παράδειγμα:

Η συνάρτηση s (y) = y ^3, και πρωτόγονη S της (y) = (y ^4/4).

Το σύνολο όλων των πρωτόγονων της συνάρτησης - αυτό είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα, το υποδηλώνονται ως εξής: ί ν (x) dx.

Δυνάμει του γεγονότος ότι η V (x) - είναι μόνο μερικά πρωτόγονες αρχική λειτουργία, έκφραση κατέχει: ί ν (x) dx = V (χ) + C, όπου C - σταθερή. Σύμφωνα με την αυθαίρετη σταθερή αναφέρεται σε οποιοδήποτε σταθερό, δεδομένου ότι το παράγωγό της είναι μηδέν.

ιδιότητες

Οι ιδιότητες που έχουν το αόριστο ολοκλήρωμα, βασίζεται ουσιαστικά στον ορισμό και τις ιδιότητες των παραγώγων.
Εξετάστε τα βασικά σημεία:

• αναπόσπαστο παράγωγο της πρωτόγονης είναι πρωτόγονη ίδιο συν ένα αυθαίρετο σταθερά C <=> ί ν «(x) dx = V (x) + C?
• παράγωγο του ολοκληρώματος της συνάρτησης είναι η αρχική λειτουργία <=> (ί ν (x) dx) «= ν (χ)?
• σταθερή λαμβάνεται έξω από κάτω από το ολοκλήρωμα σύμβολο <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, όπου k - είναι αυθαίρετη?
• αναπόσπαστο, το οποίο λαμβάνεται από το άθροισμα των πανομοιότυπα ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων <=> ∫ (v (y) + w (y)) DY = ί ν (y) dy + ∫w (y) dy.

Τα τελευταία δύο ιδιότητες μπορεί να εξαχθεί το συμπέρασμα ότι το αόριστο ολοκλήρωμα είναι γραμμικό. Λόγω αυτού, έχουμε: ∫ (kV (y) dy + ∫ LW (y)) DY = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Για να δείτε παραδείγματα για τον καθορισμό λύσεων αόριστο ολοκλήρωμα.

Θα πρέπει να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Από το παράδειγμα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν ξέρετε πώς να λύσει επ 'αόριστον ολοκληρώματα; Απλά βρείτε όλα τα αρχέτυπα! Αλλά η έρευνα για τις αρχές που συζητούνται παρακάτω.

Μέθοδοι και Παραδείγματα

Για να λυθεί το ολοκλήρωμα, μπορείτε να καταφύγουν στις ακόλουθες μεθόδους:

• έτοιμοι να επωφεληθούν από το τραπέζι?
• ενσωμάτωση από μέρη?
• ολοκληρωμένη αντικαθιστώντας τη μεταβλητή?
• συνοψίζοντας κάτω από το σύμβολο του διαφορικού.

πίνακες

Το πιο απλό και ευχάριστο τρόπο. Αυτή τη στιγμή, μαθηματική ανάλυση μπορεί να καυχηθεί αρκετά εκτεταμένη πίνακες, τα οποία διατυπώνονται το βασικό τύπο του αορίστου ολοκληρώματος. Με άλλα λόγια, υπάρχουν πρότυπα που προέρχονται από εσάς και μπορείτε να πάρετε μόνο επωφεληθούν από αυτές. Αυτή είναι η λίστα των κύριων πίνακα θέσεων, η οποία μπορεί να εμφανιστεί σχεδόν σε κάθε περίπτωση, έχει μια λύση:

• ∫0dy = C, όπου το C - σταθερά?
• ∫dy = y + C, όπου C - σταθερά?
• ∫y ⁿ DY = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, όπου το C - μια σταθερά, και το η - αριθμό διαφορετικό από την ενότητα?
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, όπου C - σταθερά?
• ^{∫e y dy = e y + C} , όπου C - σταθερά?
• ^{∫k y DY = (k y /} ln k) + C, όπου C - σταθερά?
• ∫cosydy = siny + C, όπου C - σταθερά?
• ∫sinydy = -cosy + C, όπου C - σταθερά?
• ∫dy / cos ² y = TGY + C, όπου C - σταθερά?
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, όπου C - σταθερά?
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, όπου C - σταθερά?
• ∫chydy = ντροπαλός + C, όπου C - σταθερά?
• ∫shydy = Chy + C, όπου C - σταθερή.

Αν είναι απαραίτητο, να κάνει μερικά βήματα οδηγούν ολοκλήρωμα σε μια προβολή πίνακα και να απολαύσετε τη νίκη. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: ∫cos (5χ -2) dx = 1 / 5∫cos (5χ - 2) δ (5χ - 2) = 1/5 x sin (5χ - 2) + Γ

Σύμφωνα με την απόφαση, είναι σαφές ότι για παράδειγμα ένα τραπέζι ολοκλήρωμα δεν έχει πολλαπλασιαστή 5. προστεθεί παράλληλα με την παρούσα πολλαπλασιασμού από 1/5 έως γενική έκφραση δεν άλλαξε.

Ενσωμάτωση από τα μέρη

Εξετάστε δύο λειτουργίες - z (y) και το χ (y). Πρέπει να είναι συνεχώς διαφορίσιμη στον τομέα του. Σε μία ιδιότητες διαφοροποίηση έχουμε: d (xz) = XDZ + zdx. Ενσωμάτωση και τις δύο πλευρές, έχουμε: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + zdx) => ZX = ∫zdx + ∫xdz.

Ξαναγράφοντας την εξίσωση που προκύπτει, παίρνουμε τον τύπο, η οποία περιγράφει τη μέθοδο της ενσωμάτωσης με τμήματα: ∫zdx = ZX - ∫xdz.

Γιατί είναι αυτό απαραίτητο; Το γεγονός ότι ορισμένα από τα παραδείγματα είναι δυνατόν να απλοποιηθεί, ας πούμε, να μειώσει ∫zdx ∫xdz, αν ο τελευταίος είναι κοντά σε μορφή πίνακα. Επίσης, αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί περισσότερο από μία φορά, για βέλτιστα αποτελέσματα.

Πώς να λύσουμε αόριστο ολοκλήρωμα αυτό τον τρόπο:

• απαραίτητες για τον υπολογισμό ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (χ + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, γ = 1 ^{/ 2ε 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) ^{2s ε)} / 2-e ^2s / 4 + C?

• πρέπει να υπολογίζει ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s χ ds / s = slns - ∫ds = slns -S + C = s (LNS-1) + C.

Αντικατάσταση της μεταβλητής

Αυτή η αρχή της επίλυσης αορίστου ολοκληρώματα δεν είναι μικρότερη ζήτηση από ό, τι τα δύο προηγούμενα, αν και περίπλοκη. Η μέθοδος έχει ως εξής: Έστω V (x) - το ολοκλήρωμα κάποιας συνάρτησης v (x). Σε περίπτωση που από μόνη αναπόσπαστο στο Παράδειγμα slozhnosochinenny έρχεται, είναι πιθανό να μπερδευτείτε και να πάει κάτω το λάθος λύσεις δρόμο. Για να αποφευχθεί αυτή η αλλαγή πρακτική από τη μεταβλητή χ έως z, στην οποία η γενική έκφραση απλοποιημένη οπτικά, διατηρώντας παράλληλα την z ανάλογα με x.

Σε μαθηματικούς όρους, αυτό είναι ως εξής: ί ν (x) dx = ί ν (y (z)) y «(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), όπου x = y ( z) - υποκατάστασης. Και, φυσικά, η αντίστροφη συνάρτηση z = y ^-1 (x) περιγράφουν πλήρως τη σχέση και τη σχέση των μεταβλητών. Σημαντική σημείωση - η διαφορά DX αναγκαστικά να αντικατασταθεί με ένα νέο διαφορικό dz, μετά την αλλαγή της μεταβλητής στο αόριστο ολοκλήρωμα περιλαμβάνει την αντικατάσταση παντού, όχι μόνο στο ολοκλήρωμα.

παράδειγμα:

• πρέπει να βρει ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) ds

Εφαρμόστε το z υποκατάσταση = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Στη συνέχεια, dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Ως αποτέλεσμα, η ακόλουθη έκφραση, η οποία είναι πολύ εύκολο να υπολογιστεί:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s ² + 2s-5 | + C?

• θα πρέπει να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫2 ^s e ^s dx

Για να λυθεί το ξαναγράψουμε την παρακάτω φόρμα:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2ε) s ds.

Συμβολίζουμε με ένα = 2ε (αντικατάσταση του επιχειρήματος αυτό το βήμα δεν είναι, εξακολουθεί να είναι s), δίνουμε μας φαινομενικά περίπλοκη αναπόσπαστο βασική μορφή πίνακα:

^{∫ (2ε) s ds = ∫a} s ds = α s / LNA + C = (2ε) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (LN2 + 1) + Γ

Συνοψίζοντας ένα διαφορικό σήμα

Σε γενικές γραμμές, η μέθοδος αυτή αορίστου ολοκληρώματος - ο δίδυμος αδελφός της αρχής της αλλαγής των μεταβλητών, αλλά υπάρχουν διαφορές στη διαδικασία της εγγραφής. Ας εξετάσουμε με περισσότερες λεπτομέρειες.

Εάν ί ν (x) dx = V (x) + C και y = z (x), τότε ί ν (y) dy = V (y) + Γ

Παράλληλα δεν πρέπει να ξεχνάμε τα τετριμμένα αναπόσπαστο μετασχηματισμούς, μεταξύ των οποίων:

• dx = d (x + a), και όπου - κάθε σταθερή?
• dx = (1 / a) d (ax + b), όπου ένα - σταθερό και πάλι, αλλά όχι μηδέν?
• xdx = 1 / 2d (χ ² + β)?
• sinxdx = -d (cosx)?
• cosxdx = d (SiNx).

Αν λάβουμε υπόψη την γενική περίπτωση όπου έχουμε υπολογίσει το αόριστο ολοκλήρωμα, παραδείγματα μπορούν να υπαχθούν τον γενικό τύπο W «(x) dx = dw (x).

παραδείγματα:

• πρέπει να βρει ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² δ (2s + 3) = (1/2) χ ((2s + ^{3) 2)} / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C?

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / COSS = -ln | COSS | + C.

Ηλεκτρονική βοήθεια

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η βλάβη των οποίων μπορεί να γίνει ή τεμπελιά, ή επείγουσα ανάγκη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τα ηλεκτρονικά μηνύματα, ή μάλλον, για να χρησιμοποιήσετε μια αριθμομηχανή αόριστο ολοκλήρωμα. Παρά την εμφανή πολυπλοκότητα και αμφιλεγόμενο χαρακτήρα των ολοκληρωμάτων, η απόφαση υπόκειται σε ειδικό αλγόριθμο τους, η οποία βασίζεται στην αρχή της «αν δεν ... τότε ...».

Φυσικά, ένα ιδιαίτερα περίπλοκο παραδείγματα ενός τέτοιου υπολογιστή δεν θα κυριαρχήσει, καθώς υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η απόφαση πρέπει να βρει μια τεχνητή «ανάγκασε» με την εισαγωγή ορισμένων στοιχείων στο πλαίσιο της διαδικασίας, διότι τα αποτελέσματα είναι προφανείς τρόπους για να φτάσει. Παρά την αμφιλεγόμενη φύση αυτής της κατάστασης, είναι αλήθεια, όπως τα μαθηματικά, κατ 'αρχήν, μια αφηρημένη επιστήμη, και πρωταρχικός στόχος της θεωρεί ότι η ανάγκη για ενδυνάμωση των συνόρων. Πράγματι, για μια ομαλή πορεία στις θεωρίες είναι πολύ δύσκολο να κινηθεί προς τα επάνω και να εξελίσσονται, έτσι δεν υποθέσουμε ότι τα παραδείγματα των προβλημάτων αόριστο ολοκλήρωμα, το οποίο μας έδωσε - αυτό είναι το ύψος των ευκαιριών. Αλλά πίσω στην τεχνική πλευρά των πραγμάτων. Τουλάχιστον να ελέγξει τους υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την υπηρεσία στην οποία γράφτηκε για μας. Εάν υπάρχει ανάγκη για τον αυτόματο υπολογισμό των σύνθετων εκφράσεων, τότε δεν χρειάζεται να καταφύγουμε σε μια πιο σοβαρή λογισμικού. Πρέπει να δώσουν προσοχή κυρίως στο περιβάλλον MatLab.

εφαρμογή

Η απόφαση του αορίστου ολοκληρώματος με την πρώτη ματιά φαίνεται εντελώς αποκομμένο από την πραγματικότητα, διότι είναι δύσκολο να δούμε το προφανές χρήση του αεροπλάνου. Πράγματι, τα χρησιμοποιήσει άμεσα πουθενά δεν μπορείτε, αλλά είναι ένα απαραίτητο ενδιάμεσο στοιχείο στη διαδικασία της απόσυρσης των λύσεων που χρησιμοποιούνται στην πράξη. Έτσι, η ενσωμάτωση του πίσω διαφοροποίησης, συμμετέχοντας έτσι ενεργά στη διαδικασία της επίλυσης εξισώσεων.
Με τη σειρά τους, αυτές οι εξισώσεις έχουν άμεσο αντίκτυπο στην απόφαση των μηχανικών προβλημάτων, τον υπολογισμό της τροχιάς και θερμική αγωγιμότητα - με λίγα λόγια, ό, τι αποτελεί το παρόν και διαμορφώνει το μέλλον. Αόριστο ολοκλήρωμα, παραδείγματα των οποίων έχουμε υπόψη παραπάνω, ασήμαντο μόνο με την πρώτη ματιά, ως βάση για τη διεξαγωγή όλο και περισσότερες νέες ανακαλύψεις.