Παράδοξο του Russell: βασικές πληροφορίες, παραδείγματα, διαμόρφωση

Russell παράδοξο είναι δύο αλληλοεξαρτώμενες λογική αντινομία.

Δύο μορφές παράδοξο του Russell

Η πιο συχνά συζητούνται μορφή μιας αντίφασης σε λογική σύνολα. Μερικά από τα σετ φαίνεται να είναι τα ίδια τα μέλη, και άλλοι - όχι. Το σύνολο όλων των συνόλων είναι η ίδια ομάδα, έτσι ώστε να φαίνεται ότι πρόκειται για την ίδια. Null ή άδειο, ωστόσο, δεν θα πρέπει να είναι μέλος της ίδιας. Ως εκ τούτου, το σύνολο όλων των συνόλων, όπως το μηδέν δεν περιλαμβάνεται στον εαυτό του. Το παράδοξο προκύπτει όταν το ερώτημα του κατά πόσον το σύνολο ενός μέλους του εαυτού του. Αυτό είναι εφικτό, αν και μόνο αν δεν είναι.

Μια άλλη μορφή παράδοξο είναι μια αντίφαση όσον αφορά ιδιότητες. Ορισμένες ιδιότητες, φαίνεται να αναφέρονται στους εαυτούς τους, ενώ άλλοι δεν είναι. Το ακίνητο να είναι το ίδιο το ακίνητο είναι ένα ξενοδοχείο, ενώ το ακίνητο να είναι μια γάτα δεν είναι. Εξετάστε την ιδιότητα να έχει ένα ακίνητο που δεν ανήκει σε αυτόν. αν ισχύει το ίδιο; Και πάλι, καμία από τις υποθέσεις θα πρέπει να είναι το αντίθετο. Το παράδοξο ονομάστηκε προς τιμήν του Bertrand Russell (1872-1970), ο οποίος το ανακάλυψε το 1901.

ιστορία

Εγκαίνια Russell έλαβε χώρα κατά τη διάρκεια της δουλειάς του με τίτλο «Αρχές των Μαθηματικών». Αν και ανακάλυψε το παράδοξο ανεξάρτητα, υπάρχουν ενδείξεις ότι και άλλοι μαθηματικοί και προγραμματιστές της θεωρίας συνόλων, συμπεριλαμβανομένης της Ernst Zermelo και David Hilbert, ήταν ενήμεροι για την πρώτη έκδοση των αντιφάσεων πριν από αυτόν. Russell, ωστόσο, ήταν ο πρώτος που συζητήθηκε λεπτομερώς το παράδοξο σε δημοσιευμένα έργα του, προσπάθησε στην αρχή να διατυπώσει λύσεις και ο πρώτος για να εκτιμήσουμε πλήρως τη σημασία του. Ένα ολόκληρο κεφάλαιο της «Αρχές» ήταν αφιερωμένη στη συζήτηση του θέματος αυτού, και η εφαρμογή ήταν αφιερωμένο στη θεωρία των τύπων, που Ράσελ πρότεινε ως λύση.

Russell ανακάλυψε το «παράδοξο του ψεύτη», λαμβάνοντας υπόψη την θεωρία των συνόλων του Cantor που λέει ότι η δύναμη του κάθε σύνολο είναι μικρότερο από το σύνολο των υποσυνόλων του. Τουλάχιστον στον τομέα θα πρέπει να είναι, όπως πολλοί υποσύνολα καθώς υπάρχουν στοιχεία σε αυτό, αν μια υποομάδα του κάθε στοιχείου έχει οριστεί περιέχουν μόνο αυτό το στοιχείο. Επιπλέον, Cantor απέδειξε ότι ο αριθμός των στοιχείων δεν μπορεί να είναι ίσος με τον αριθμό των υποσυνόλων. Αν υπήρχε ο ίδιος αριθμός, θα πρέπει να υπάρχει ƒ χαρακτηριστικό που θα εμφανίσει τα στοιχεία για τις υποκατηγορίες τους. Ταυτόχρονα, μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτό είναι αδύνατο. Ορισμένα στοιχεία μπορεί να εμφανιστεί σε υποσύνολα της συνάρτησης ƒ που τα περιέχουν, ενώ άλλοι δεν μπορούν.

Εξετάστε το υποσύνολο των στοιχείων που δεν ανήκουν σε εικόνες τους, στα οποία εμφανίζουν ƒ. Είναι η ίδια ένα υποσύνολο των στοιχείων, και ως εκ τούτου, ƒ λειτουργία θα εμφανιστεί σε ένα στοιχείο στον τομέα. Το πρόβλημα είναι ότι τότε τίθεται το ερώτημα του κατά πόσον το στοιχείο αυτό ανήκει στο υποσύνολο με το οποίο εμφανίζει ƒ. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν δεν ανήκει. παράδοξο του Russell μπορεί να θεωρηθεί ως ένα παράδειγμα της ίδιας γραμμής του συλλογισμού, μόνο απλοποιημένη. Τι είναι περισσότερο - τα σύνολα ή υποσύνολα του συνόλου; Φαίνεται ότι θα πρέπει να υπάρχουν περισσότερα σύνολα, όπως όλα τα υποσύνολα των ίδιων των συνόλων. Αλλά αν το θεώρημα του Cantor είναι αλήθεια, τότε θα πρέπει να υπάρχουν περισσότερα υποσύνολα. Russell θεωρείται απλώς εμφανίζει τα σύνολα για τον εαυτό τους και να εφαρμόζονται kantoriansky προσέγγιση λαμβάνοντας υπόψη το σύνολο όλων αυτών των στοιχείων, εκτός από ένα σύνολο στο οποίο εμφανίζονται. Εμφάνιση Russell γίνεται το σύνολο όλων των συνόλων, μη.

σφάλμα Frege

«Το παράδοξο του ψεύτη» είχε μια βαθιά επίδραση στην ιστορική εξέλιξη της θεωρίας των συνόλων. Έδειξε ότι η έννοια της καθολικής σύνολο είναι ιδιαίτερα προβληματική. Αμφισβήτησε επίσης την άποψη ότι για κάθε ορίζονται κατάσταση ή κατηγόρημα μπορεί να υποθέσει την ύπαρξη μιας πληθώρας μόνο εκείνα τα πράγματα που πληρούν την προϋπόθεση αυτή. Επιλογή παράδοξο σχετικά με τις ιδιότητες - μια φυσική επέκταση στα σύνολα έκδοση - εγείρει σοβαρές αμφιβολίες ως προς το αν είναι δυνατόν να διαφωνούν για την αντικειμενική ύπαρξη ενός αγαθού ή μιας γενικής συμμόρφωσης προς κάθε καθορίζεται από την κατάσταση, ή κατηγόρημα.

Σύντομα οι αντιφάσεις και τα προβλήματα στο έργο της λογικής βρέθηκαν, φιλόσοφοι και μαθηματικοί που έχουν κάνει παρόμοιες υποθέσεις. Το 1902, ο Ράσελ διαπίστωσε ότι μια παραλλαγή του παραδόξου μπορεί να εκφραστεί σε ένα λογικό σύστημα, που αναπτύχθηκε στον τόμο Ι του «Θεμέλια της αριθμητικής» Gottlob Frege, ένα από τα κύρια έργα για τη λογική του τέλους του ΧΙΧ - αρχές του ΧΧ αιώνα. Στην φιλοσοφία του Frege πολλών νοείται ως «επέκταση» ή η έννοια «τιμή-εύρους». Οι έννοιες είναι το πιο κοντινό σε εκείνους των συσχετισμών. Αναμένεται να υπάρχουν για κάθε συγκεκριμένη κατάσταση ή κατηγόρημα. Έτσι, υπάρχει μια έννοια ενός συνόλου, που δεν εμπίπτουν στο πεδίο εφαρμογής που ορίζει η έννοια της. Υπάρχει επίσης μια κατηγορία που ορίζεται από την έννοια αυτή, και υπόκειται στον καθορισμό έννοια του μόνο εάν δεν είναι.

Russell έγραψε στον Frege για αυτή τη σύγκρουση, τον Ιούνιο του 1902. Η αλληλογραφία που ήταν ένα από τα πιο συναρπαστικά και μίλησε για την ιστορία της λογικής. Frege αναγνωρίζεται αμέσως τις καταστροφικές συνέπειες του παραδόξου. Σημείωσε, ωστόσο, ότι η έκδοση της διαμάχης σχετικά με τα ακίνητα στην φιλοσοφία του επιλύθηκε με τη διάκριση μεταξύ των εννοιών των επιπέδων.

έννοια του Frege κατανοητή ως η μετάβαση από τα επιχειρήματα της λειτουργίας σε TRUE. Οι έννοιες πρώτο επίπεδο, λαμβάνοντας ως επιχειρήματα τα αντικείμενα της δεύτερης εννοιών επίπεδο πάρει ως επιχειρήματα για αυτές τις λειτουργίες, και ούτω καθεξής. Έτσι, η έννοια δεν μπορεί ποτέ να λάβει η ίδια ως επιχείρημα, και το παράδοξο όσον αφορά τις ιδιότητες δεν μπορούν να διατυπωθούν. Παρ 'όλα αυτά σύνολα, επέκταση ή έννοιες Frege νοούνται ως αναφορές στον ίδιο λογικό τύπο όπως εκείνη όλων των άλλων αντικειμένων. Στη συνέχεια, για κάθε ομάδα υπάρχει ένα ερώτημα αν εμπίπτει στην έννοια του ορισμού του.

Όταν Frege, Russell έλαβε το πρώτο γράμμα, το δεύτερο τόμο του «Θεμέλια της αριθμητικής» έχει ήδη ολοκληρωθεί εκτύπωσης. Αναγκάστηκε να προετοιμαστούν γρήγορα μια εφαρμογή που δίνει μια απάντηση στο παράδοξο του Russell. Παραδείγματα Frege περιείχε έναν αριθμό πιθανών λύσεων. Αλλά κατέληξε στο συμπέρασμα να αποδυναμώσει την έννοια του συνόλου αφαίρεσης σε ένα λογικό σύστημα.

Στην αρχική, ήταν δυνατόν να συμπεράνουμε ότι το αντικείμενο ανήκει στο σύνολο, αν και μόνον αν εμπίπτει στην έννοια, ορίζει. Το αναθεωρημένο σύστημα δεν μπορεί παρά να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι το αντικείμενο ανήκει στο σύνολο, αν και μόνο αν εμπίπτει στην έννοια του καθορισμού ενός πλήθους, αλλά δεν έχει οριστεί στην ερώτηση. παράδοξο του Russell προκύπτει.

Η λύση, όμως, δεν είναι απόλυτα ικανοποιημένοι με Frege. Και αυτός ήταν ο λόγος. Αρκετά χρόνια αργότερα, πιο σύνθετη μορφή της αντίφασης έχει βρεθεί για το αναθεωρημένο σύστημα. Αλλά ακόμη και πριν από αυτό συνέβη, Frege εγκατέλειψε τις αποφάσεις του και φαίνεται να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η προσέγγισή του ήταν απλά ανεφάρμοστη, και ότι η λογική θα πρέπει να κάνει, χωρίς καμία από τις ομάδες.

Ακόμα άλλοι έχουν προταθεί, σχετικά πιο επιτυχημένες εναλλακτικές λύσεις. Αυτά συζητούνται παρακάτω.

Η θεωρία των τύπων

Σημειώθηκε ανωτέρω ότι Frege ήταν επαρκής απάντηση στις παράδοξα της θεωρίας συνόλων στην έκδοση τυποποιούνται για ιδιότητες. προηγήθηκε απόκριση Frege ήταν από την πιο συχνά συζητούνται λύση σε αυτή τη μορφή παράδοξο. Βασίζεται στο γεγονός ότι οι ιδιότητες υπόκεινται σε διαφορετικούς τύπους και τι είδος της ιδιοκτησίας δεν είναι ποτέ το ίδιο με τα στοιχεία στα οποία αναφέρεται.

Έτσι, προκύπτει ούτε καν το ερώτημα, αν η ιδιότητα ισχύει για τον εαυτό της. Λογική γλώσσα, το οποίο διαχωρίζει τα στοιχεία μιας τέτοιας ιεραρχίας, χρησιμοποιώντας τη θεωρία των τύπων. Παρά το γεγονός ότι χρησιμοποιείται ήδη από τον Frege, την πρώτη φορά που εξηγείται πλήρως και τεκμηριωμένες Russell στο παράρτημα της «αρχής». Η θεωρία των τύπων ήταν πιο πλήρης από τη διάκριση των επιπέδων Frege. Μοιράστηκε ιδιότητες δεν είναι μόνο διαφορετικοί τύποι της λογικής, αλλά που επίσης. πληκτρολογήστε τη θεωρία για την επίλυση της αντίφασης στο παράδοξο του Russell εξής.

Για να είναι φιλοσοφικά επαρκής, η υιοθέτηση της θεωρίας των τύπων των ακινήτων απαιτεί την ανάπτυξη της θεωρίας για τη φύση των ακινήτων, έτσι ώστε θα μπορούσε να εξηγήσει γιατί δεν μπορεί να εφαρμοστεί για τον εαυτό τους. Με την πρώτη ματιά, είναι λογικό στα κύρια ιδιοκτησία τους. Η ιδιότητα του να είναι αυτο-ταυτότητα, όπως φαίνεται, είναι επίσης μια αυτο-ταυτότητα. Το ξενοδοχείο φαίνεται να είναι ένα ωραίο ευχάριστη. Κατά τον ίδιο τρόπο, προφανώς, φαίνεται ψεύτικη να πούμε ότι η ιδιότητα του να είναι μια γάτα είναι μια γάτα.

Παρ 'όλα αυτά, διάφοροι στοχαστές δικαιολόγησε την κατανομή των διαφόρων τύπων. Russell έδωσε ακόμη και διαφορετικές ερμηνείες σε διαφορετικές χρονικές στιγμές στην καριέρα του. Από την πλευρά του, το σκεπτικό για τον διαχωρισμό των διαφορετικών εννοιών των επιπέδων Frege προέρχεται από τη θεωρία του ακόρεστων έννοιες. Έννοιες όπως η λειτουργία, στην ουσία, είναι ελλιπείς. Για να παρέχουν αξία, που χρειάζονται ένα επιχείρημα. Μπορείτε όχι μόνο μία έννοια μπορεί να πηγάζουν την έννοια του ίδιου τύπου, επειδή εξακολουθεί να απαιτεί την επιχειρηματολογία της. Για παράδειγμα, αν είναι δυνατόν να πάρει την τετραγωνική ρίζα της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού, δεν μπορείτε απλά να χρησιμοποιήσετε μια συνάρτηση τετραγωνικής ρίζας στη λειτουργία τετραγωνικής ρίζας και να πάρει ένα αποτέλεσμα.

Σχετικά με τις ιδιότητες συντηρητισμού

Μια άλλη πιθανή λύση είναι η ιδιότητες παράδοξο άρνηση ιδιότητες ύπαρξη κάτω από οποιεσδήποτε δεδομένες συνθήκες, ή ένα καλοσχηματισμένα κατηγόρημα. Φυσικά, αν κάποιος αποφεύγει μεταφυσικές ιδιότητες και των δύο αντικειμενικών και ανεξάρτητων στοιχείων στο σύνολό της, αν λάβουμε νομιναλισμό παράδοξο μπορεί να αποφευχθεί εντελώς.

Ωστόσο, για να λύσει το αντινομία δεν χρειάζεται να είναι τόσο ακραία. Λογική συστήματα ανώτερης τάξης αναπτύχθηκαν Frege και Russell, περιέχει αυτό που ονομάζεται εννοιολογική αρχή, σύμφωνα με την οποία κάθε ανοικτή τύπους, ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκη υπάρχει ως μέρος ενός ακινήτου ή μια έννοια, για παράδειγμα, μόνο εκείνα τα στοιχεία που ταιριάζουν με τον τύπο. Θα εφαρμοστεί στα χαρακτηριστικά της κάθε δυνατό σύνολο συνθηκών ή κατηγορήματα, δεν έχει σημασία πόσο περίπλοκη ήταν.

Παρ 'όλα αυτά, δεν ήταν δυνατό να λάβει μια πιο αυστηρή ιδιότητες μεταφυσική, δίνοντας το δικαίωμα στην αντικειμενική ύπαρξη απλών ιδιοτήτων, συμπεριλαμβανομένων, για παράδειγμα, όπως το κόκκινο χρώμα, τη σταθερότητα, την ευγένεια και ούτω καθεξής. Δ Μπορείτε ακόμη και να αφήσουμε αυτές οι ιδιότητες ισχύουν για τους εαυτούς τους, όπως η καλοσύνη μπορεί να να είστε ευγενικοί.

Και το ίδιο καθεστώς για τα σύνθετα χαρακτηριστικά μπορεί να αμφισβητηθεί, για παράδειγμα, όπως «ιδιότητες», όπως έχει δεκαεπτά-κεφάλια, να γραφτεί κάτω από το νερό και τα παρόμοια. Δ Σε αυτήν την περίπτωση, δεν υπάρχει προκαθορισμένη κατάσταση δεν πληροί το ακίνητο, νοείται ως ξεχωριστά υπάρχον στοιχείο, το οποίο έχει τις δικές του ιδιότητες. Έτσι, μπορεί κανείς να αρνηθεί την ύπαρξη απλών ακίνητα είναι ιδιοκτησίας-που-δεν-εφαρμόζεται με αυτο και να αποφευχθεί το παράδοξο με την εφαρμογή πιο συντηρητική μεταφυσικές ιδιότητες.

παράδοξο του Russell: η λύση

Πάνω διαπιστώθηκε ότι στο τέλος της ζωής του Frege εγκατέλειψαν εντελώς τη λογική των συνόλων. Αυτό, φυσικά, μία λύση στην αντινομία υπό τη μορφή σετ: α απλή άρνηση της ύπαρξης τέτοιων στοιχείων στο σύνολό της. Επιπλέον, υπάρχουν και άλλες δημοφιλείς επιλογές, τα βασικά από τα οποία παρουσιάζονται παρακάτω.

Η θεωρία για πολλούς τύπους

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο Russell έπαιξε για μια πιο ολοκληρωμένη θεωρία των τύπων, οι οποίοι θα μοιραστούν όχι μόνο τις ιδιότητες ή έννοιες σε διαφορετικούς τύπους, αλλά που επίσης. Russell shared που σε ένα πλήθος χωριστών μονάδων, ένα πλήθος συνόλων ξεχωριστά αντικείμενα, κ.λ.π. Τα σύνολα αντικειμένων δεν θεωρήθηκαν, και μία πλειάδα συνόλων - .. Σετ. Πολλοί δεν απολαμβάνουν τον τύπο, σας επιτρέπει να έχετε ως μέλος της ίδιας. Ως εκ τούτου, δεν υπάρχει σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη της δικής του, γιατί για κάθε σειρά ερωτήσεων σχετικά με το αν είναι ως μέλος, είναι η ίδια ένα είδος παράβασης. Και πάλι, το θέμα εδώ είναι να εξηγήσει τα σύνολα μεταφυσική για να εξηγήσει τα φιλοσοφικά θεμέλια της διαίρεσης σε τύπους.

στρωμάτωση

Το 1937, V. V. Kuayn προσέφερε μια εναλλακτική λύση, με έναν τρόπο παρόμοιο με την θεωρία των τύπων. Βασικές πληροφορίες σχετικά με αυτό είναι.

Διαχωρισμός σειρές στοιχείων και άλλοι. Κατασκευασμένο έτσι ώστε η παραδοχή της εύρεσης ενός πλήθους πάντα είναι εσφαλμένη ή χωρίς νόημα. Σετ μπορεί να παρέχεται μόνο κατά τον καθορισμό των όρων τους, δεν είναι ένα είδος παράβασης. Έτσι, για Quine, η έκφραση «x δεν είναι μέλος του x» είναι η ουσιαστική δήλωση δεν συνεπάγεται την ύπαρξη του συνόλου όλων των στοιχείων x ικανοποιούν αυτή τη συνθήκη.

Σε αυτό το σύστημα ένα σύνολο υπάρχει για κάποιο ανοικτό τύπου Α, αν και μόνο αν είναι στρωματοποιημένη, t. Ε Εάν οι μεταβλητές έχουν ανατεθεί θετικών ακεραίων τέτοια ώστε για κάθε χαρακτηριστικό εμφάνιση ενός πλήθους που προηγείται αυτής μεταβλητής έχει εκχωρηθεί μονάδα εκχώρησης μικρότερη από την μεταβλητή, μετά από μετά από αυτόν. παράδοξο αυτού του μπλοκ του Russell, δεδομένου ότι ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του συνόλου πρόβλημα, υπάρχει η ίδια πριν και μετά το μεταβλητό σημάδι των μελών καθιστώντας unstratified.

Αλλά δεν έχει ακόμη καθοριστεί αν το σύστημα που προκύπτει, η οποία Quine που ονομάζεται «Νέα θεμέλια της μαθηματικής λογικής» συνεπής.

απόρριψη

Μια εντελώς διαφορετική προσέγγιση λαμβάνεται στη θεωρία της Zermelo - Fraenkel (ZF). Εδώ, επίσης, τεθεί ένα όριο για την ύπαρξη των συνόλων. Αντ 'αυτού, η προσέγγιση της «top-down» του Ράσελ και Frege, ο οποίος αρχικά πίστευαν ότι για όλες τις έννοιες, ιδιότητες ή συνθήκες μπορεί να υποδηλώνουν την ύπαρξη του συνόλου όλων των πραγμάτων με αυτό το ακίνητο ή να πληρούν μια τέτοια κατάσταση, στην ZF-θεωρία, ξεκινά πάντα «από κάτω προς τα πάνω».

Μεμονωμένα στοιχεία του κενό σύνολο και αποτελούν ένα σύνολο. Ως εκ τούτου, σε αντίθεση με προηγούμενα συστήματα και Russell Frege FIT δεν ανήκει στην καθολική σετ που περιλαμβάνει όλα τα στοιχεία και ακόμη και όλα τα σετ. ZF θέτει αυστηρά όρια για την ύπαρξη των συνόλων. Μπορεί να υπάρχουν μόνο εκείνες για τις οποίες έχει σαφώς υποτεθεί ή τα οποία μπορούν να τυποποιηθούν με τη βοήθεια επαναληπτικές διαδικασίες και τα παρόμοια. D.

Στη συνέχεια, αντί να την αφελή έννοια σύνολο αφαίρεση που δηλώνει ότι ένα συγκεκριμένο στοιχείο περιλαμβάνεται στο σετ, αν και μόνο αν πληροί τις προϋποθέσεις όσον αφορά την αρχή διαχωρισμού που χρησιμοποιείται DF, χωρισμού ή «διαλογή». Αντί υποθέτοντας την ύπαρξη του συνόλου όλων των στοιχείων τα οποία είναι χωρίς εξαίρεση ικανοποιήσει μια συγκεκριμένη συνθήκη, για κάθε υπάρχον σύνολο Aussonderung υποδεικνύει την ύπαρξη ενός υποσυνόλου όλων των στοιχείων στην αρχική σειρά που πληροί τον όρο.

Στη συνέχεια, έρχεται αφαίρεση αρχή: αν υπάρχει το σύνολο Α, τότε, για όλα τα x στο Α, x ανήκει στο υποσύνολο Α, η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη, αν και μόνο αν x πληροί την προϋπόθεση C. Αυτή η προσέγγιση επιλύει το παράδοξο του Russell, δεδομένου ότι δεν μπορούμε απλά να υποθέσουμε δηλαδή, το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους.

Έχοντας πολλά σύνολα, μπορείτε να επιλέξετε ή να χωρίσετε σε ομάδες, οι οποίες είναι από μόνες τους, και εκείνοι που δεν είναι τέτοιες, αλλά δεδομένου ότι δεν υπάρχει καθολική ομάδα δεν δεσμεύονται σύνολο όλων των συνόλων. Χωρίς την παραδοχή του προβλήματος θέτει Russell αντίφαση δεν μπορεί να αποδειχθεί.

άλλες λύσεις

Επιπλέον, υπήρξαν μεταγενέστερες επεκτάσεις ή τροποποιήσεις αυτών των διαλυμάτων, όπως μια θεωρία πιρούνι τύπου των «Αρχές των Μαθηματικών» επέκταση του συστήματος «μαθηματική λογική» Quine, καθώς και πιο πρόσφατες εξελίξεις στη θεωρία των συνόλων, έκανε Bernays, Gödel και νοη Neumann. Το ζήτημα του κατά πόσον η απάντηση στο αδιάλυτο παράδοξο Bertrand Russell βρέθηκε, εξακολουθεί να αποτελεί θέμα συζήτησης.