Το παράγωγο της ημίτονο της γωνίας είναι ίση με το συνημίτονο της ίδια γωνία

Dana απλή συνάρτηση τριγωνομετρία y = sin (x), είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του συνόλου του τομέα. Πρέπει να αποδείξουμε ότι το παράγωγο του ημιτονοειδούς οποιασδήποτε επιχείρημα είναι ίσο με το συνημίτονο της ίδια γωνία, δηλαδή, «= cos (x).

Η απόδειξη βασίζεται στον ορισμό μιας συνάρτησης παραγώγου

Ορίζουμε x (αυθαίρετα) σε κάποια μικρή γειτονιά ενός συγκεκριμένου σημείου x Δh _0. Θα δείξουμε την αξία λειτουργία σε αυτό, και στο σημείο x, για να βρείτε την αύξηση της μια συγκεκριμένη λειτουργία. Αν Δh - επιχείρημα αυξάνεται, η νέα επιχείρημα - αυτής x ₀ + Δx = x, η αξία αυτής της λειτουργίας για μία δεδομένη τιμή του ορίσματος (x) είναι ίσο Sin (x ₀ + Δx), η τιμή συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο (x ₀₎ είναι επίσης γνωστή .

Τώρα έχουμε Δυ = sin (x ₀ + Δh) -Sin (x ₀₎ - που λαμβάνονται λειτουργία προσαύξησης.

Σύμφωνα με τον τύπο του ημιτονοειδούς αθροίσματος των δύο άνισα γωνιών θα μετατρέψει τη διαφορά Δυ.

Δυ = sin (x ₀₎ · Cos (Δh) + cos (x ₀₎ · Sin (Δx) μείον sin (x ₀₎ = (Cos (Δx) -1 ) · sin ( x ₀₎ + cos (x ₀₎ · Sin (Δh).

Διενεργείται όροι μετάθεση ομαδοποιούνται πρώτη έως τρίτη sin (x _0), λαμβάνονται από το κοινό παράγοντα - ημιτονοειδές - τα υποστηρίγματα. Λάβαμε στην έκφραση Cos διαφορά (Δh) -1. Άφησε να αλλάξετε το σύμβολο μπροστά από την παρένθεση και στηρίγματα. Γνωρίζοντας τι είναι το 1-Cos (Δh), κάνουμε την αλλαγή και να αποκτήσουν μια απλουστευμένη έκφραση Δυ, το οποίο στη συνέχεια διαιρείται με Δh.
Δυ / Δh θα έχει τη μορφή: cos (x ₀₎ · Sin (Δh) / Δh 2 · Sin ² (0,5 χ Δh) · sin (x ₀₎ / Δh. Αυτό είναι ο λόγος της αύξησης της λειτουργίας για την εισαγωγή προς την αύξηση του επιχειρήματος.

Μένει να βρούμε το όριο των δεικτών που λαμβάνονται από εμάς κατά τη διάρκεια lim Δh, τείνει στο μηδέν.

Είναι γνωστό ότι το όριο Sin (Δh) / Δx είναι ίσο με 1, υπό την προϋπόθεση. Και η έκφραση 2 · Sin ² (0,5 χ Δh) / Δh στα προκύπτοντα άθροισμα ιδίως μετασχηματισμούς σε προϊόν που περιέχει ως πρώτο πολλαπλασιαστή αξιοσημείωτη όριο: αριθμητή του κλάσματος και znemenatel διαίρεση με το 2, το τετράγωνο της sine αντικαταστήσει το προϊόν. Εδώ είναι πώς:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · sin (Δx / 2).
Το όριο αυτής της έκφρασης όταν Δh τείνει στο μηδέν, θα είναι ίσος με τον αριθμό των μηδέν (0 πολλαπλασιάζεται με 1). Αποδεικνύεται ότι το όριο του λόγου Δγ / Δh είναι cos (x ₀₎ · 1-0, αυτό Cos (x _0), η έκφραση του οποίου είναι ανεξάρτητη από Δh τείνει να 0. Το συμπέρασμα: το παράγωγο του ημίτονο οποιαδήποτε γωνία είναι ίση με x συνημίτονο του x, μπορεί να γραφεί ως: y «= cos (x).

Το προκύπτον τύπος παρατίθεται στον πίνακα των γνωστών παραγώγων, όπου όλα τα στοιχειώδη λειτουργίες

Στην επίλυση προβλημάτων, όπου συναντά το παράγωγο της sine, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους κανόνες της διαφοροποίησης και έτοιμα τύπους του πίνακα. Για παράδειγμα: δείτε το παράγωγο του απλούστερου συνάρτησης y = 3 · sin (x) -15. Χρησιμοποιούμε το στοιχειώδεις κανόνες παραγωγή αφαίρεση αριθμητικό συντελεστή για το πρόσημο της παραγώγου και να υπολογίσει το παράγωγο σταθερό αριθμό (το οποίο είναι μηδέν). Εφαρμόστε ένα ημιτονοειδές αξία πίνακα του παραγώγου της γωνίας χ ίση cos (x). Λάβετε την απάντηση: y «= 3 · cos (x) -Ο. Αυτό το παράγωγο, με τη σειρά του, είναι επίσης ένα στοιχειώδες συνάρτηση γ = H · cos (x).

Το παράγωγο του ημιτόνου τετράγωνο οποιουδήποτε επιχειρήματος

Κατά τον υπολογισμό της έκφρασης (Sin ² (x)) «πρέπει να θυμόμαστε πώς διαφοροποιημένη πολύπλοκη συνάρτηση. Έτσι, ² = sin (x) - είναι μια συνάρτηση ενέργειας όπως sine τετράγωνο. το επιχείρημα του είναι επίσης μια τριγωνομετρική συνάρτηση, ένα σύνθετο επιχείρημα. Το αποτέλεσμα στην περίπτωση αυτή είναι ίση με το προϊόν της πρώτης πολλαπλασιαστή είναι ένα τετράγωνο του συμπλόκου παραγώγου του επιχειρήματος, και το δεύτερο - το παράγωγο του ημιτονοειδούς. Εδώ είναι ο κανόνας για τη διαφοροποίηση λειτουργία μιας συνάρτησης: (u (v (x))) 'είναι (u (v (x)))' · (v (x))». Η έκφραση του ν (x) - ένα συγκρότημα όρισμα (εσωτερική λειτουργία). Εάν η δεδομένη λειτουργία "y ισούται το ημιτονοειδές τετράγωνο x", τότε το παράγωγο αυτού του σύνθετου λειτουργία είναι y «= 2 · sin (x) · cos (x). Το προϊόν του πρώτου πολλαπλασιαστή διπλασιαστεί - παράγωγο γνωστό εκθετική συνάρτηση, και Cos (x) - παράγωγο κόλπων σύμπλοκο επιχείρημα της τετραγωνική συνάρτηση. Το τελικό αποτέλεσμα μπορεί να μετασχηματιστεί με τον ακόλουθο τύπο του τριγωνομετρικών ημίτονο της διπλής γωνίας. Α: Το παράγωγο είναι Sin (2 · x). Αυτή η φόρμουλα είναι εύκολο να θυμόμαστε, είναι συχνά χρησιμοποιείται ως ένα τραπέζι.