Σειρά Fourier: η ιστορία και η επιρροή του μαθηματικού μηχανισμού για την ανάπτυξη της επιστήμης

σειράς Fourier - αυτή η άποψη έχει επιλεγεί αυθαίρετα λειτουργίες για την περίοδο σε μια σειρά. Σε γενικές γραμμές, η λύση ονομάζεται το στοιχείο επέκτασης σε ορθογώνια βάση. Η επέκταση των λειτουργιών σε σειρά Fourier είναι αρκετά ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων λόγω των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού όσον αφορά την ενσωμάτωση, διαφοροποίηση, καθώς και μια μετατόπιση στην έκφραση επιχείρημα και συνέλιξη.

Ένα πρόσωπο που δεν είναι εξοικειωμένοι με ανώτερα μαθηματικά, καθώς και με τα έργα του Γάλλου επιστήμονα Fourier, κατά πάσα πιθανότητα δεν θα καταλάβει τι τις «τάξεις» και τι κάνουν. Ωστόσο, αυτός ο μετασχηματισμός είναι αρκετά σταθερά μπει στη ζωή μας. Χρησιμοποιείται όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και οι φυσικοί, χημικοί, ιατροί, αστρονόμοι, σεισμολόγοι, ωκεανογράφοι και άλλοι. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά με τα έργα του μεγάλου Γάλλου επιστήμονα που έκανε την ανακάλυψη, μπροστά από την εποχή του.

Ο άνθρωπος και ο μετασχηματισμός Fourier

σειράς Fourier είναι μία από τις μεθόδους (μαζί με αναλύσεις και άλλα) του μετασχηματισμού Fourier. Αυτή η διαδικασία λαμβάνει χώρα κάθε φορά που ένα άτομο ακούει κανέναν ήχο. αυτί μας μετατρέπει αυτόματα τον ήχο των κυμάτων. Κίνηση ταλάντωσης των στοιχειωδών σωματιδίων σε ένα ελαστικό μέσο διαστέλλονται στη σειρά (το φάσμα) διαδοχικών τιμών έντασης για τους ήχους του διαφορετικά ύψη. Στη συνέχεια, ο εγκέφαλος μετατρέπει τα δεδομένα σε οικείους ήχους για εμάς. Όλα αυτά είναι εκτός από την επιθυμία ή την ίδια τη συνείδησή μας, αλλά για να κατανοήσουμε τις διαδικασίες που χρειαστούν αρκετά χρόνια για να σπουδάσει ανώτερα μαθηματικά.

Διαβάστε περισσότερα για το μετασχηματισμό Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί να πραγματοποιηθεί αναλυτική, αριθμούς και άλλες μεθόδους. σειρές Fourier είναι αριθμητικό διαδικασία για την αποσύνθεση τυχόν ταλαντωτική διεργασίες - από τις παλίρροιες των ωκεανών και τα κύματα του φωτός στην ηλιακή κύκλους (και άλλα αστρονομικά αντικείμενα) δραστηριότητα. Χρησιμοποιώντας αυτές τις μαθηματικές τεχνικές, είναι δυνατόν να αποσυναρμολογηθεί η λειτουργία, που αντιπροσωπεύει τυχόν ταλαντωτική διεργασίες σε μια σειρά από ημιτονοειδείς συνιστώσες που πηγαίνουν από την ελάχιστη στη μέγιστη και αντίστροφα. Ο μετασχηματισμός Fourier είναι μία συνάρτηση που περιγράφει την φάση και το πλάτος των ημιτονοειδών που αντιστοιχεί σε μια συγκεκριμένη συχνότητα. Αυτή η διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση ένα πολύ σύνθετο εξισώσεις που περιγράφουν τις δυναμικές διεργασίες που συμβαίνουν υπό την επίδραση της θερμότητας, φωτός ή ηλεκτρική ενέργεια. Επίσης, η σειρά Fourier χρησιμοποιείται για να διακρίνει τα συστατικά DC σε πολύπλοκες κυματομορφές, καθιστώντας δυνατή την ερμηνεύσει σωστά τις πειραματικές παρατηρήσεις στον τομέα της ιατρικής, της χημείας και της αστρονομίας.

ιστορικές πληροφορίες

Ο πατέρας αυτής της θεωρίας είναι ο Γάλλος μαθηματικός Ζαν Batist Zhozef Fure. Το όνομά του αργότερα και αυτή η μεταμόρφωση έχει κληθεί. Αρχικά, οι επιστήμονες χρησιμοποίησαν μια τεχνική για τη μελέτη και να εξηγήσει τους μηχανισμούς θερμικής αγωγιμότητας - διάδοση θερμότητας σε στερεά. Fourier πρότεινε ότι η αρχική ακανόνιστη κατανομή της θερμικής κύματος μπορεί να αναλυθεί σε απλή ημιτονοειδής, καθένα από τα οποία θα έχει την ελάχιστη τιμή του θερμοκρασίας και της μέγιστης, καθώς και του φάση. Έτσι κάθε τέτοιο συστατικό που πρόκειται να μετρηθεί από την ελάχιστη στη μέγιστη και αντίστροφα. Η μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει τις άνω και κάτω κορυφές της καμπύλης, καθώς και η φάση της κάθε αρμονικής, που ονομάζεται ο μετασχηματισμός Fourier της κατανομής θερμοκρασίας της έκφρασης. Ο συγγραφέας της θεωρίας της μειωμένης συνολικής λειτουργίας διανομής που είναι δύσκολο να μαθηματική περιγραφή, σε ένα πολύ εύκολο να χειριστεί έναν αριθμό περιοδικών λειτουργιών του ημιτόνου και συνημίτονου, το ποσό της δίνει την αρχική κατανομή.

Η αρχή της μετατροπής και οι απόψεις των συγχρόνων

Συγχρόνους του επιστήμονα - οι κορυφαίοι μαθηματικοί από τις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα - δεν αποδέχονται αυτή τη θεωρία. Η κύρια αντίρρηση ήταν η έγκριση του Fourier που η ασυνεχής λειτουργία που περιγράφει μια ευθεία γραμμή ή καμπύλη είναι σκισμένο, αυτό μπορεί να παρασταθεί ως ένα άθροισμα ημιτονοειδών εκφράσεις που είναι συνεχείς. Ως παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα «βήμα» Heaviside: τιμή του είναι μηδέν στα αριστερά του χάσματος και μία στα δεξιά. Αυτή η λειτουργία περιγράφει την εξάρτηση του ηλεκτρικού ρεύματος για την μεταβλητή χρόνου για την αλυσίδα κλείσιμο. Σύγχρονη θεωρία εκείνη τη στιγμή, δεν είχε ποτέ αντιμετώπισε μια τέτοια κατάσταση, όταν ένας ασυνεχής έκφρασης θα περιγραφεί με ένα συνδυασμό συνεχούς, κοινές λειτουργίες, όπως η εκθετική, ημιτονοειδής, γραμμική ή τετραγωνική.

Αυτό που ενόχλησε οι γαλλικές μαθηματικοί στη θεωρία της Fourier;

Μετά από όλα, εάν ένας μαθηματικός ήταν σωστό να υποστηρίζουν, στη συνέχεια, αθροίζοντας μια άπειρη Τριγωνομετρικό σειρά Fourier, είναι δυνατόν να ληφθεί μια ακριβής αναπαράσταση του βήματος της έκφρασης, ακόμη και αν έχει ένα σύνολο παρόμοιων βημάτων. Στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, η δήλωση αυτή φαίνεται παράλογο. Όμως, παρ 'όλες τις αμφιβολίες, πολλοί μαθηματικοί έχουν επεκτείνει το πεδίο εφαρμογής της μελέτης του φαινομένου αυτού, μετακινώντας πέρα από τις μελέτες θερμικής αγωγιμότητας. Ωστόσο, οι περισσότεροι επιστήμονες συνέχισαν να υποφέρουν το ερώτημα: «Μπορεί το άθροισμα της σειράς ημιτονοειδές κύμα συγκλίνει προς την ακριβή αξία ενός ασυνεχούς λειτουργίας»

Η σύγκλιση των σειρών Fourier: παράδειγμα

Το θέμα της σύγκλισης αυξάνεται κάθε φορά που θα χρειαστεί το άθροισμα μιας άπειρης σειράς των αριθμών. θεωρούν ένα κλασικό παράδειγμα για την κατανόηση του φαινομένου αυτού. Μπορείτε να φτάσουν στον τοίχο, αν κάθε βήμα είναι το ήμισυ του προηγούμενου; Ας υποθέσουμε ότι είναι δύο μέτρα από το στόχο, το πρώτο βήμα πιο κοντά σε περίπου το ήμισυ τον τρόπο, το επόμενο - το σήμα των τριών τετάρτων, και μετά την πέμπτη, θα ξεπεράσει σχεδόν 97 τοις εκατό από το δρόμο. Ωστόσο, δεν έχει σημασία πόσα βήματα έχετε κάνει ούτε ο επιδιωκόμενος στόχος φτάσετε σε μια αυστηρή μαθηματική έννοια. Χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς, μπορούμε να αποδείξουμε ότι στο τέλος μπορεί να είναι πιο κοντά σε μια αυθαίρετα μικρή δεδομένη απόσταση. Αυτό ισοδυναμεί με μια απόδειξη που αποδεικνύει ότι η συνολική αξία της μισό, ένα τέταρτο, και ούτω καθεξής. Ε θα έχουν την τάση να ενότητας.

Το θέμα της σύγκλισης: το δεύτερο ερχομό ή όργανο του Λόρδου Kelvin

Επανειλημμένα το ερώτημα αυτό ανέκυψε στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, όταν η σειρά Fourier προσπάθησαν να χρησιμοποιήσετε για να προβλέψει την ένταση των κινείται μπρος πίσω. Εκείνη την εποχή, Lord Kelvin εφευρέθηκε συσκευή είναι ένας αναλογικός υπολογιστής που επέτρεψε ναυτικούς ναυτικό και εμπορικό ναυτικό οθόνη είναι ένα φυσικό φαινόμενο. Αυτός ο μηχανισμός καθορισμένο σύνολο των φάσεων και πλάτη του ύψους πίνακα της παλίρροιας και των αντίστοιχων χρονικών στιγμών, που μετράται προσεκτικά στο λιμάνι όλο το χρόνο. Κάθε παράμετρος είναι μια ημιτονοειδής ύψη παλίρροια έκφραση συστατικό και ήταν μία από τις τακτικές συστατικών. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων είναι είσοδος στον υπολογιστική συσκευή Λόρδος Κέλβιν, συνθέτοντας καμπύλη που προέβλεψε ύψος του νερού ως συνάρτηση του επομένου έτους. Πολύ σύντομα, οι καμπύλες αυτές καταρτίστηκαν για όλα τα λιμάνια του κόσμου.

Και αν η διαδικασία θα πρέπει να σπάσει ασυνεχή λειτουργία;

Εκείνη την εποχή, ήταν προφανές ότι η διάταξη προβλέποντας ένα παλιρροϊκό κύμα, με πολλά στοιχεία του λογαριασμού μπορεί να υπολογίσει ένα μεγάλο αριθμό των φάσεων και πλάτη, και έτσι παρέχουν μια πιο ακριβή πρόβλεψη. Παρ 'όλα αυτά, αποδείχθηκε ότι αυτό το μοτίβο δεν παρατηρείται σε περιπτώσεις όπου η παλιρροϊκό έκφραση που θα συντεθεί, περιείχε μια απότομη άλμα, δηλαδή, είναι ασυνεχείς. Σε περίπτωση που η συσκευή για την εισαγωγή δεδομένων από έναν πίνακα του χρονικά σημεία, υπολογίζει λίγες συντελεστές Fourier. Ανάκτηση της αρχικής λειτουργίας, λόγω της ημιτονοειδή συνιστώσα (σύμφωνα με τους βρέθηκε συντελεστές). Η διαφορά μεταξύ της αρχικής και της ανακατασκευασμένης έκφραση μπορεί να μετρηθεί σε οποιοδήποτε σημείο. Όταν οι υπολογισμοί επανάληψης και συγκρίσεις μπορεί να δει κανείς ότι η αξία του μεγαλύτερου σφάλματος δεν μειώνεται. Ωστόσο, αυτά είναι εντοπισμένες στην περιοχή που αντιστοιχεί στο σημείο της ρήξης, και οποιοδήποτε άλλο σημείο τείνουν στο μηδέν. Το 1899, το αποτέλεσμα αυτό επιβεβαιώθηκε θεωρητικά Joshua Willard Gibbs του Πανεπιστημίου Yale.

Η σύγκλιση των σειρών Fourier και η ανάπτυξη των μαθηματικών ως σύνολο

Ανάλυση Fourier δεν ισχύει για τις εκφράσεις που περιέχει έναν άπειρο αριθμό των ριπών σε ένα ορισμένο χρονικό διάστημα. Σε γενικές σειρές Fourier, εάν η αρχική λειτουργία αντιπροσωπεύεται από το αποτέλεσμα των πραγματικών φυσικές μετρήσεις, πάντα συγκλίνουν. Οι ερωτήσεις της σύγκλισης αυτής της διαδικασίας για συγκεκριμένες κατηγορίες λειτουργίες έχουν οδηγήσει σε νέες κλάδους των μαθηματικών, όπως η θεωρία των γενικευμένων λειτουργίες. Συνδέεται με ονόματα όπως Schwartz, J .. Mikusiński και J. Temple. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία, μια σαφή και ακριβή θεωρητική βάση για τέτοια έκφραση έχει καθιερωθεί ως η κρουστική συνάρτηση (περιγράφει την περιοχή του ενιαίου χώρου, συμπυκνώθηκε σε ένα απειροελάχιστο γειτονιά του σημείου) και «βήμα» Heaviside. Μέσω αυτής της εργασίας της σειράς Fourier κατέστη εφαρμοστέα για την επίλυση των εξισώσεων και των προβλημάτων, οι οποίες συνεπάγονται διαισθητική έννοιες: σημειακό φορτίο, σημείο μάζας, μαγνητικά δίπολα, και το συγκεντρωμένο φορτίο στη δοκό.

μέθοδος Fourier

Σειρές Fourier, σύμφωνα με τις αρχές της παρεμβολής, αρχίζουν με την αποσύνθεση των σύνθετων μορφών σε απλούστερα. Για παράδειγμα, μια αλλαγή στη ροή θερμότητας λόγω της διέλευσής του μέσα από τα διάφορα εμπόδια του θερμομονωτικού υλικού ακανόνιστου σχήματος ή αλλάζοντας επιφάνεια του εδάφους - έναν σεισμό, μια αλλαγή στην τροχιά του ουρανίου σώματος - την επιρροή των πλανητών. Τυπικά, αυτές οι εξισώσεις που περιγράφουν απλό κλασικό στοιχειώδη σύστημα λυθεί για κάθε επιμέρους μήκος κύματος. Fourier έδειξε ότι οι απλές λύσεις μπορούν να συνοψιστούν ως περισσότερο σύνθετα καθήκοντα. Στη γλώσσα των μαθηματικών, Fourier σειρά - μια μεθοδολογία για την υποβολή του ποσού έκφραση των αρμονικών - συνημίτονο και ημίτονο κύματα. Ως εκ τούτου, η ανάλυση αυτή είναι επίσης γνωστή με το όνομα «αρμονική ανάλυση».

Σειρές Fourier - μια ιδανική μέθοδος για να την «εποχή των ηλεκτρονικών υπολογιστών»

Πριν από τη δημιουργία της τεχνολογίας των υπολογιστών μεθόδου Fourier είναι το καλύτερο όπλο στο οπλοστάσιο των επιστημόνων που εργάζονται με την κυματική φύση του κόσμου μας. σειρά Fourier σε σύνθετη μορφή σας επιτρέπει όχι μόνο να λύσει απλά προβλήματα που επιδέχονται άμεση εφαρμογή των νόμων του Νεύτωνα της μηχανικής, αλλά και τις θεμελιώδεις εξισώσεις. Τα περισσότερα από τα ευρήματα της Νευτώνειας επιστήμης του δέκατου ένατου αιώνα, έγινε δυνατή μόνο λόγω της μεθόδου Fourier.

σειρά Fourier σήμερα

Με την ανάπτυξη του μετασχηματισμού Fourier υπολογιστές έχουν αυξηθεί σε ένα νέο επίπεδο. Αυτή η τεχνική είναι καλά εδραιωμένη σε όλους σχεδόν τους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Για παράδειγμα, ένα ψηφιακό ήχο και βίντεο. Η εφαρμογή του κατέστη δυνατή μόνο χάρη στη θεωρία που αναπτύχθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό του στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα. Έτσι, η σειρά Fourier σε μιγαδική μορφή επέτρεψε να κάνει μια σημαντική ανακάλυψη στη μελέτη του διαστήματος. Επιπλέον, έχει επηρεάσει τη μελέτη της φυσικής των υλικών ημιαγωγών και πλάσματος, ακουστική μικροκυμάτων, ωκεανογραφία, ραντάρ, σεισμολογία.

σειρά Τριγωνομετρικές Fourier

Στα μαθηματικά, μια σειρά Fourier είναι ένας τρόπος αναπαράστασης αυθαίρετων σύνθετες λειτουργίες ως άθροισμα των απλούστερο. Σε γενικές περιπτώσεις, ο αριθμός των εκφράσεων μπορεί να είναι άπειρη. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός μετρήθηκαν στον υπολογισμό, τόσο πιο ακριβής το τελικό αποτέλεσμα αποκτάται. Η πιο κοινή χρήση απλών τριγωνομετρικών συνημίτονο ή sine λειτουργίας. Στην περίπτωση αυτή, η σειρά Fourier ονομάζεται τριγωνομετρικές, και η απόφαση της εν λόγω εκδήλωσης - αρμονική αποσύνθεσης. Η μέθοδος αυτή παίζει σημαντικό ρόλο στα μαθηματικά. Πρώτα απ 'όλα, η τριγωνομετρική σειρά παρέχει ένα μέσο για την εικόνα, καθώς και τη μελέτη των λειτουργιών, είναι η κύρια μονάδα της θεωρίας. Επιπλέον, μας επιτρέπει να λύσει μια σειρά από προβλήματα στη μαθηματική φυσική. Τέλος, η θεωρία αυτή έχει συμβάλει στην ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης, έδωσε αφορμή για μια σειρά από πολύ σημαντικούς κλάδους της μαθηματικής επιστήμης (θεωρία των ολοκληρώματα, η θεωρία της περιοδικής λειτουργίες). Επιπλέον, το σημείο εκκίνησης για την ανάπτυξη των παρακάτω θεωρίες: σύνολα, συναρτήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής, λειτουργική ανάλυση, καθώς επίσης και έθεσε τα θεμέλια για την αρμονική ανάλυση.