Boolean άλγεβρα. άλγεβρα της λογικής. Στοιχεία μαθηματικής λογικής

Στο σημερινό κόσμο που όλο και περισσότερο χρησιμοποιώντας μια ποικιλία από μηχανές και συσκευές. Και όχι μόνο όταν είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί κυριολεκτικά υπεράνθρωπη δύναμη: μετακινήστε το φορτίο για να αυξήσει το ύψος, σκάψει μακρά και βαθιά τάφρο, κλπ Αυτοκίνητα σήμερα συλλέγουν τα ρομπότ, τα τρόφιμα είναι μαγειρεμένα Multivarki και στοιχειώδη υπολογισμούς αριθμητική παράγουν αριθμομηχανές ... Όλο και πιο συχνά ακούμε τη φράση «Boolean άλγεβρα». Ίσως έχει έρθει η ώρα να κατανοήσουν το ρόλο των ανθρώπων στη δημιουργία του ρομπότ και μηχανές την ικανότητα να λύσει όχι μόνο μαθηματικές, αλλά και λογικά προβλήματα.

λογική

Στην ελληνική λογική - μια διατεταγμένη σύστημα σκέψης που δημιουργεί τη σχέση μεταξύ των δεδομένες συνθήκες και σας επιτρέπει να κάνετε συμπεράσματα βασίζονται σε παραδοχές και εκτιμήσεις. Αρκετά συχνά, ρωτάμε ο ένας τον άλλον: «Είναι λογικό να» δοθεί η απάντηση επιβεβαιώνει τις υποθέσεις μας ή να επικρίνει το τρένο της σκέψης. Αλλά η διαδικασία δεν σταματά εκεί: θα συνεχίσουμε να μιλάμε.

Μερικές φορές ο αριθμός των όρων (input) είναι τόσο μεγάλη, και η σχέση μεταξύ τους είναι τόσο συγκεχυμένη και σύνθετο ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν είναι σε θέση να «χωνέψει» όλα με τη μία. Μπορεί να χρειαστεί περισσότερο από ένα μήνα (εβδομάδα, έτος) για την κατανόηση του τι συμβαίνει. Αλλά η σύγχρονη ζωή δεν μας δίνει αυτά τα χρονικά διαστήματα για τη λήψη αποφάσεων. Και καταφύγει στην βοήθεια των υπολογιστών. Και είναι εδώ ότι υπάρχει μια άλγεβρα και τη λογική, με τους νόμους και τις ιδιότητές του. Μετά τη λήψη όλων των αρχικών δεδομένων, που επιτρέπουν στον υπολογιστή να αναγνωρίζει όλες τις σχέσεις, την εξάλειψη των αντιφάσεων και να βρει μια ικανοποιητική λύση.

Μαθηματικά και τη λογική

Διάσημοι Gotfrid Vilgelm Leybnits διατύπωσε την έννοια της «μαθηματικής λογικής», η οποία εργασιών ήταν εύκολο να καταλάβει μόνο ένα μικρό κύκλο των λογίων. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η κατεύθυνση δεν προκάλεσε, και στη μέση του ΧΙΧ αιώνα της μαθηματικής λογικής είναι γνωστή από λίγους.

Το μεγάλο ενδιαφέρον στην επιστημονική κοινότητα έχει προκαλέσει διαμάχη στην οποία ο Άγγλος Dzhordzh Bul δήλωσε την πρόθεσή του να ιδρύσει υποκατάστημα των μαθηματικών, δεν έχει απολύτως καμία πρακτική χρήση. Όπως γνωρίζουμε από την ιστορία, αυτή τη στιγμή ενεργά την ανάπτυξη της βιομηχανικής παραγωγής, έχουμε αναπτύξει όλα τα είδη των βοηθητικών μηχανημάτων, τ. Ε Όλες οι επιστημονικές ανακαλύψεις είχαν πρακτικό προσανατολισμό.

Κοιτώντας προς το μέλλον, μπορούμε να πούμε ότι μια Boolean άλγεβρα - το πιο διαδεδομένο στον κόσμο σήμερα μέρος των μαθηματικών. Έτσι, το επιχείρημά σας Μπουλ χαθεί.

Dzhordzh Bul

Η προσωπικότητα του συγγραφέα αξίζει ιδιαίτερη προσοχή. Ακόμη και με δεδομένο το γεγονός ότι στο παρελθόν οι άνθρωποι μεγάλωσαν μπροστά μας, ακόμα θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα 16 χρόνια του Ιωάννη. Buhl διδάσκονται στο σχολείο του χωριού, και με 20 χρόνια άνοιξε δική του σχολή στο Λίνκολν. Μαθηματικός κυριαρχήσει απόλυτα πέντε ξένες γλώσσες, και στον ελεύθερο χρόνο του, διάβαζε τα έργα του Νεύτωνα και του Lagrange. Και όλα αυτά - για το γιο ενός συνηθισμένου εργάτη!

Το 1839, Μπουλ έστειλε την πρώτη επιστημονικές εργασίες του στο Cambridge Mathematical Journal. Επιστήμονας γύρισε 24 χρόνια. το έργο Boole είναι τόσο ενδιαφέρονται για τα μέλη της Βασιλικής Εταιρείας, το 1844 έλαβε ένα μετάλλιο για τη συμβολή του στην ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης. Λίγα δημοσιεύσει άρθρα στα οποία τα στοιχεία της μαθηματικής λογικής, των μαθηματικών τη δυνατότητα στους νέους να αναλάβει τη θέση του καθηγητή στο Κολέγιο της Κομητείας Cork περιγράφηκαν. Υπενθυμίζεται ότι στην ίδια την Boole εκπαίδευση δεν ήταν.

ιδέα

Κατ 'αρχήν, Boolean άλγεβρα είναι πολύ απλή. Υπάρχουν δηλώσεις (λογικές εκφράσεις) που, από την άποψη των μαθηματικών, μπορεί να οριστεί μόνο σε δύο λέξεις: «true» ή «false». Για παράδειγμα, τα δέντρα την άνοιξη άνθιση - η αλήθεια, το καλοκαίρι χιονίζει - ένα ψέμα. Η ομορφιά των μαθηματικών είναι ότι δεν είναι απολύτως αναγκαίο να χρησιμοποιήσετε μόνο αριθμούς. Για τις αποφάσεις της άλγεβρας αρκετά ταιριάζουν σε δηλώσεις με μοναδική έννοια.

Έτσι, η άλγεβρα της λογικής μπορεί να χρησιμοποιηθεί κυριολεκτικά παντού: στον προγραμματισμό και τη σύνταξη οδηγιών, η ανάλυση των αντικρουόμενων πληροφοριών σχετικά με τα γεγονότα και τον προσδιορισμό της αλληλουχίας των δράσεων. Το πιο σημαντικό πράγμα - να συνειδητοποιήσουμε ότι δεν έχει σημασία το πώς θα καθορίσουν την αλήθεια ή την αναλήθεια των δηλώσεων. Από αυτά τα «πώς» και «γιατί» θα πρέπει να αγνοήσει. Αυτό που έχει σημασία είναι μόνο μια διαπίστωση: η αλήθεια είναι ένα ψέμα.

Φυσικά, τον προγραμματισμό των πιο σημαντικές λειτουργίες της άλγεβρας της λογικής που καταγράφονται με κατάλληλα σήματα και σύμβολα. Και να μάθουν - αυτό σημαίνει να μάθουν μια νέα ξένη γλώσσα. Τίποτα δεν είναι αδύνατο.

Βασικές έννοιες και ορισμοί

Χωρίς να υπεισέλθω σε βάθος, ασχολούμαστε με την ορολογία. Έτσι, Boolean άλγεβρα προϋποθέτει:

• δηλώσεις?
• λογικές πράξεις?
• λειτουργίες και τους νόμους.

Δηλώσεις - κάθε θετική έκφραση που μπορεί να ερμηνευθεί με δύο αξίας. Έχουν γραφτεί ως αριθμοί (5> 3) ή τυποποιούνται γνωστές λέξεις (ελέφαντας - το μεγαλύτερο θηλαστικό). Σε αυτή την περίπτωση, η φράση «το λαιμό της καμηλοπάρδαλης δεν είναι» έχει επίσης το δικαίωμα να υπάρχει, μόνο Boolean άλγεβρα που ορίζουν ως «ένα ψέμα».

Όλες οι δηλώσεις θα πρέπει να είναι σαφής, αλλά μπορεί να είναι απλά ή σύνθετα. Πρόσφατη χρήση λογική δέσμη. Ε Στην ένωση δηλώσεις άλγεβρα αποφάσεις που σχηματίζεται με την προσθήκη των στοιχειωδών λογικών πράξεων.

Boolean λειτουργίες άλγεβρα

Θυμόμαστε ήδη ότι οι επιχειρήσεις στην άλγεβρα των αποφάσεων - λογικό. Ακριβώς όπως η άλγεβρα των αριθμών χρησιμοποιώντας τις αριθμητικές πράξεις για να προσθέσει, να αφαιρέσει, ή να συγκρίνετε αριθμούς, μαθηματική λογική στοιχεία επιτρέπουν να πραγματοποιήσει πολύπλοκες καταστάσεις, να αρνηθεί ή να υπολογίσει το τελικό αποτέλεσμα.

λογικές πράξεις για την τυποποίηση και την απλότητα που εκφράζεται από τον τύπο, οικεία σε μας στην αριθμητική. Ιδιότητες των εξισώσεων Μπουλ άλγεβρα επιτρέπουν να καταγράψετε και να υπολογίσετε το άγνωστο. Λογικές πράξεις συνήθως καταγράφονται από τον πίνακα αληθείας. στοιχεία του καθορίζουν στήλες και λειτουργία των υπολογιστών που γίνεται σε αυτά, καθώς και οι γραμμές δείχνουν το αποτέλεσμα των υπολογισμών.

Βασική λογική της δράσης

Η πιο συνηθισμένη στις πράξεις Boolean άλγεβρα είναι άρνηση (ΔΕΝ), και το λογικό AND και OR. Έτσι είναι δυνατόν να περιγράψει σχεδόν όλα τα βήματα αποφάσεις άλγεβρα. Μελετήσαμε λεπτομερώς κάθε μία από τις τρεις λειτουργίες.

Η άρνηση (δεν) εφαρμόζεται σε ένα μόνο στοιχείο (τελεστέο). Ως εκ τούτου, η λειτουργία ονομάζεται μοναδιαίος άρνηση. Για την καταγραφή της έννοιας του «όχι» χρησιμοποιώντας τέτοια σύμβολα: ¬A, Α ή Α !. Σε μορφή πίνακα που μοιάζει με αυτό:

Η λειτουργία της άρνησης που χαρακτηρίζουν μια τέτοια δήλωση: αν η A είναι αληθής, τότε A - είναι ψευδής. Για παράδειγμα, η Σελήνη περιστρέφεται γύρω από τη Γη - την αλήθεια? Γη περιστρέφεται γύρω από το φεγγάρι - ένα ψέμα.

Λογική πολλαπλασιασμό και πρόσθεση

Λογικό ΚΑΙ λειτουργία ονομάζεται συνδυασμό. Τι σημαίνει αυτό; Πρώτον, ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε δύο τελεστές, δηλαδή, Ι - .. δυαδική λειτουργία. Δεύτερον, είναι μόνο στην περίπτωση της αλήθειας και των δύο τελεστέους (αμφότερα τα Α και Β) είναι αληθής και η ίδια η έκφραση. Η παροιμία, «Η υπομονή και μια μικρή προσπάθεια» σημαίνει ότι μόνο δύο παράγοντες μπορεί να βοηθήσει ένα άτομο να αντιμετωπίσει τις δυσκολίες.

σύμβολα χρησιμοποιούνται για την καταγραφή: A∧B, A⋅B ή Α && Β

Σύζευξη είναι παρόμοια με πολλαπλασιασμό στην αριθμητική. Μερικές φορές και να πω - λογικό πολλαπλασιασμό. Αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία των γραμμών του πίνακα, θα έχουμε ένα αποτέλεσμα παρόμοιο με τη λογική σκέψη.

Διάζευξη είναι μια λογική λειτουργία OR. Είναι TRUE αν τουλάχιστον μία από τις δηλώσεις είναι αληθής (Α ή Β). Είναι γραμμένο σαν αυτό: A∨B, Α + Β ή Α || B. ο πίνακας αλήθειας για τις πράξεις αυτές είναι:

Διάζευξη παρόμοια αριθμητική προσθήκης. λογική λειτουργία Επιπλέον έχει μόνο ένα περιορισμό: 1 + 1 = 1. Αλλά πρέπει να θυμάστε ότι σε ψηφιακή μορφή περιορίζεται στη μαθηματική λογική 0 και 1 (όπου 1 - η αλήθεια, 0 - ψευδής). Για παράδειγμα, η δήλωση «στο μουσείο μπορείτε να δείτε ένα αριστούργημα ή να βρείτε μια καλή παρέα» σημαίνει τι μπορείτε να δείτε έργα τέχνης, και είναι δυνατόν να καλύψει ένα ενδιαφέρον πρόσωπο. Την ίδια στιγμή, δεν αποκλείουν το ενδεχόμενο να πληρούνται ταυτόχρονα δύο γεγονότα.

Λειτουργίες και νόμοι

Έτσι, γνωρίζουμε ήδη ποια είναι η λογική λειτουργίας με τη χρήση Boolean άλγεβρα. Λειτουργίες περιγράψει όλες τις ιδιότητες των στοιχείων της μαθηματικής λογικής, και θα μας επιτρέψει να απλοποιήσουν πολύπλοκες καταστάσεις ένωση. Η πιο σαφές και απλό φαίνεται απόρριψη ιδιοκτησία των πράξεων παραγώγων. Με τα παράγωγα κατανοητό XOR, επιπτώσεις και της ισοδυναμίας. Όπως έχουμε διαβάσει μόνο με τις βασικές λειτουργίες, και στη συνέχεια η ιδιοκτησία είναι επίσης να εξετάσει τους μόνο.

Συσχέτισης σημαίνει ότι στις δηλώσεις όπως «τα δύο Α και Β, και την εισαγωγή σειράς Β» από τα τελούμενα δεν έχει σημασία. Ο τύπος γράφεται ως εξής:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτό δεν είναι το μοναδικό στο συνδυασμό, αλλά μια διάζευξη.

Αντιμεταθετικότητα υποστηρίζει ότι το αποτέλεσμα του κοινού ή διάζευξης δεν εξαρτάται από την οποία το στοιχείο θεωρήθηκε από την αρχή:

A∧B = B∧A? A∨B = B∨A.

Distributivity επιτρέπει αποκαλύπτουν αγκύλες σε σύνθετες λογικές εκφράσεις. Οι κανόνες είναι παρόμοια με την παρένθεση άνοιγμα στο πολλαπλασιασμό και πρόσθεση στην άλγεβρα:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V? A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

ιδιότητες Μονάδα και το μηδέν, η οποία μπορεί να είναι ένας από τους τελεστέους είναι επίσης παρόμοια με την αλγεβρική πολλαπλασιασμό με μηδέν ή ένα, και προσθήκη μιας μονάδας:

A∧0 = 0, A∧1 = Α? A∨0 = Α, A∨1 = 1.

Idempotency μας λέει ότι αν είναι σχετικά δύο ίσα τελεστές το αποτέλεσμα της πράξης είναι η ίδια, μπορείτε να «ρίξει» τα πλεονάζοντα τελεστές περιπλέκουν συλλογισμό. Και οι εργασίες συνδυασμό και διάζευξης είναι idempotent.

B∧B = Β? B∨B = Β

Απόκτηση μας επιτρέπει να απλοποιήσει την εξίσωση. Απορρόφηση αναφέρει ότι όταν η έκφραση εφαρμόζεται σε ένα τελεστέο, άλλη λειτουργία με το ίδιο στοιχείο του τελεστή αποτέλεσμα της λειτουργίας απορρόφησης.

A∧B∨B = Β? (A∨B) ∧B = Β

αλληλουχία των λειτουργιών

Η σειρά των εργασιών έχει μεγάλη σημασία. Στην πραγματικότητα, όπως και για την άλγεβρα, υπάρχει μια λειτουργία προτεραιότητας που χρησιμοποιεί ένα Boolean άλγεβρα. Οι τύποι μπορεί να απλοποιηθεί με την επιφύλαξη μόνο για τη σημασία των εργασιών. Κατάταξη από τα πιο σημαντικά για την αμελητέα, παίρνουμε την ακόλουθη σειρά:

1. Άρνηση.

2. Σύζευξη.

3. Η διάζευξη, XOR.

4. Η συνέπεια, η ισοδυναμία.

Όπως μπορείτε να δείτε, μόνο την άρνηση του κοινού και δεν έχουν την ίδια προτεραιότητα. Μια προτεραιότητα της διάζευξης και XOR είναι ίσες, καθώς και οι προτεραιότητες των επιπτώσεις και της ισοδυναμίας.

Λειτουργίες της εμπλοκής και της ισοδυναμίας

Όπως έχουμε πει, εκτός από τις βασικές λογικές πράξεις, μαθηματική λογική και η θεωρία των αλγορίθμων χρησιμοποιώντας παραγώγων. Είναι συνήθως η συνέπεια και την ισοδυναμία.

Η επίπτωση ή λογική συνέπεια - αυτή η δήλωση, με την οποία μια ενέργεια είναι μια κατάσταση, και το άλλο - το αποτέλεσμα της εφαρμογής της. Με άλλα λόγια, η πρόταση αυτή με το πρόσχημα της «εάν ... τότε». «Μετά το δείπνο έρχεται η αναγνώριση.» Ε Για την οδήγηση ώστε να σφίγγονται επί του ελκύθρου λόφο. Αν δεν υπάρχει η επιθυμία να μετακινηθεί προς τα κάτω από το βουνό, και στη συνέχεια σύρετε το έλκηθρο δεν είναι απαραίτητη. Είναι γραμμένο έτσι: A → B ή A⇒B.

Ισοδυναμία σημαίνει ότι το καθαρό αποτέλεσμα εμφανίζεται μόνο όταν και οι δύο τελεστές είναι αλήθεια. Για παράδειγμα, τη νύχτα δίνει τόπο στην ημέρα, τότε (και μόνο τότε), όταν ο ήλιος ανατέλλει πάνω από τον ορίζοντα. Στη γλώσσα της μαθηματικής λογικής αυτής της δήλωσης είναι γραμμένο ως A≡B, A⇔B, Α == Β

Άλλοι νόμοι της άλγεβρας Boole

απόφαση Άλγεβρα αναπτύσσει, και πολλοί ενδιαφερόμενοι επιστήμονες να διαμορφώσουν νέους νόμους. Το πιο διάσημο θεωρούνται αξιώματα της Σκωτίας μαθηματικός Ο De Morgan. Παρατήρησε και έδωσε έναν ορισμό αυτών των ιδιοτήτων όσο πιο κοντά άρνηση, προσθήκη και διπλά αρνητικό.

Κλείστε την άρνηση υποδηλώνει ότι πριν από την παρένθεση είναι καμία αμφιβολία: δεν (A ή B) = όχι Α ή Β δεν

Όταν ο τελεστής άρνησης, ανεξάρτητα από την αξία του, λένε για προσθήκη:

B∧¬B = 0? B∨¬B = 1.

Και τέλος, η ίδια η διπλή άρνηση αποζημιώνει. δηλαδή πριν είτε τελεστή άρνησης εξαφανίζεται ή παραμένει μόνο ένα.

Πώς να λύσει δοκιμές

Λογική συνεπάγεται απλοποίηση προκαθορισμένη εξισώσεις. Ακριβώς όπως και στην άλγεβρα Lie, είναι αναγκαίο να διευκολυνθεί η μέγιστη πρώτη προϋπόθεση (για να απαλλαγούμε από πολύπλοκες λειτουργίες εισόδου, και μαζί τους), στη συνέχεια, να αρχίσει να ψάχνει για μια σωστή απάντηση.

Τι να κάνετε για να απλοποιηθεί; Μετατρέψτε όλα τα παράγωγα σε μια απλή λειτουργία. Τότε αποκαλύψει όλα τα στηρίγματα (ή αντιστρόφως, για να κάνουν τις αγκύλες για να μειωθεί αυτό το στοιχείο). Το επόμενο βήμα θα πρέπει να είναι η χρήση Boolean ιδιότητες άλγεβρα στην πράξη (ιδιότητες απορρόφησης μηδέν και το ένα, και t.).

Τελικά, η εξίσωση πρέπει να αποτελείται από έναν ελάχιστο αριθμό των αγνώστων, σε συνδυασμό με απλές λειτουργίες. Ο ευκολότερος τρόπος για να αναζητήσει μια λύση, αν κάνετε ένα μεγάλο αριθμό στενών αρνητικά. Στη συνέχεια, η απάντηση θα εμφανιστεί σαν από μόνη της.