Πραγματικοί αριθμοί και οι ιδιότητές τους

Ο Πυθαγόρας υποστήριξε ότι ο αριθμός είναι το θεμέλιο του κόσμου στο ίδιο επίπεδο με τα σημαντικότερα στοιχεία. Ο Πλάτωνας πίστευε ότι ο αριθμός των συνδέσεων το φαινόμενο και το νοούμενο, βοηθώντας τους να γνωρίζουν, να ζυγίζονται και να εξαχθούν συμπεράσματα. Αριθμητική προέρχεται από τη λέξη «arifmos» - τον αριθμό, το σημείο εκκίνησης στα μαθηματικά. Είναι δυνατόν να περιγράψει οποιοδήποτε αντικείμενο - από το δημοτικό έως το μήλο αφηρημένη χώρους.

Ανάγκες ως παράγοντα ανάπτυξης

Στα αρχικά στάδια της ανάπτυξης της κοινωνίας των αναγκών των ανθρώπων περιορίζεται από την ανάγκη να κρατήσει το αποτέλεσμα - .. Μια τσάντα των σιτηρών, δύο τσάντα σιτάρι, κλπ Για να γίνει αυτό, ήταν φυσικούς αριθμούς, το σύνολο των οποίων είναι μια άπειρη ακολουθία θετικών ακεραίων Ν

Αργότερα, η ανάπτυξη των μαθηματικών ως επιστήμης, ήταν αναγκαία στον ειδικό τομέα των ακεραίων Z - περιλαμβάνει αρνητικές τιμές και το μηδέν. Η εμφάνισή του σε εθνικό επίπεδο, να προκλήθηκε από το γεγονός ότι η αρχική λογιστική έπρεπε να διορθώσετε κάποιο τρόπο τα χρέη και ζημίες. Σε επιστημονικό επίπεδο, οι αρνητικοί αριθμοί έχουν καταστήσει δυνατή την επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων. Μεταξύ άλλων, είναι πλέον δυνατή η εικόνα ένα ασήμαντο σύστημα συντεταγμένων, δηλαδή Α. Υπήρχε ένα σημείο αναφοράς.

Το επόμενο βήμα ήταν η ανάγκη να εισέλθουν κλασματική αριθμούς, δεδομένου ότι η επιστήμη δεν στέκονται ακόμα, όλο και περισσότερες νέες ανακαλύψεις απαίτησαν μια θεωρητική βάση για μια νέα ανάπτυξη ώθηση. Έτσι, υπήρχε ένα πεδίο των ρητών αριθμών Q.

Τέλος, δεν ανταποκρίνονται πλέον στις απαιτήσεις του ορθολογισμού, γιατί όλα τα νέα ευρήματα απαιτούν αιτιολόγηση. Υπήρχαν πεδίο των πραγματικών αριθμών R, τα έργα της ασυμμετρίας του Ευκλείδη ορισμένες ποσότητες λόγω του παραλογισμού τους. Δηλαδή, η αρχαία ελληνική μαθηματικός τοποθετηθεί όχι μόνο αριθμό ως σταθερή, αλλά ως μια αφηρημένη αξία η οποία χαρακτηρίζεται από την αναλογία των ασύμμετρων μεγεθών. Λόγω του γεγονότος ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί, «είδαμε το φως» αξίες, όπως «π» και «e», χωρίς την οποία δεν θα μπορούσε να πραγματοποιηθεί σύγχρονων μαθηματικών.

Το τελικό καινοτομία ήταν μια σύνθετη σειρά C. Είναι απάντησε σε μια σειρά ερωτήσεων και διέψευσε είχαν εισαχθεί στο παρελθόν αξιώματα. Λόγω της ταχείας ανάπτυξης της έκβασης άλγεβρα ήταν προβλέψιμη - με πραγματικούς αριθμούς, η απόφαση πολλών προβλημάτων δεν ήταν δυνατή. Για παράδειγμα, χάρη στις μιγαδικούς αριθμούς ξεχώρισαν θεωρία χορδών και το χάος επεκτάθηκε εξισώσεις της υδροδυναμικής.

Ορισμός θεωρία. ψάλτης

Η έννοια του απείρου έχει πάντα προκάλεσε τη διαμάχη, καθώς ήταν αδύνατο να αποδείξει ή να διαψεύσει. Στο πλαίσιο των μαθηματικών, που λειτουργεί αυστηρά επαληθεύονται αξιώματα, που εκδηλώθηκε πιο προφανώς, τόσο περισσότερο ότι η θεολογική πτυχή εξακολουθεί να ζυγίζονται στην επιστήμη.

Ωστόσο, μέσα από το έργο του μαθηματικού Georg Cantor όλων των εποχών έπεσε στη θέση του. Απέδειξε ότι οι άπειρες σειρές υπάρχει ένα άπειρο σύνολο, και ότι το πεδίο Ε είναι μεγαλύτερη από ό, τι στον τομέα Ν, αφήστε και τα δύο και δεν έχουν τέλος. Στη μέση του ΧΙΧ αιώνα, οι ιδέες του που ονομάζεται δημόσια ανοησίες και ένα έγκλημα κατά της κλασικής αμετάβλητο κανόνες, αλλά ο χρόνος θα βάλει τα πάντα στη θέση του.

Βασικές ιδιότητες του πεδίου Ε

Πραγματικούς αριθμούς, όχι μόνο έχουν τις ίδιες ιδιότητες με το podmozhestva που περιλαμβάνουν, αλλά συμπληρώνονται από άλλες masshabnosti δυνάμει των στοιχείων της:

• Zero R. υπάρχει και ανήκει στο πεδίο c + = c 0 για κάθε c του R.
• Zero υπάρχει και ανήκει στο πεδίο R. c χ 0 = 0 για κάθε c του R.
• Η αναλογία C: d όταν υπάρχει δ ≠ 0 και ισχύει για οποιοδήποτε c, d του R.
• Πεδίο R παραγγείλει, δηλαδή εάν c ≤ d, d ≤ c, τότε c = d για κάθε c, d του R.
• Η προσθήκη στον τομέα R είναι αντιμεταθετική, δηλ c + d = d + c, για κάθε c, d του R.
• Πολλαπλασιασμός στον τομέα R είναι αντιμεταθετική, δηλ χ c χ d = d c για όλα τα c, d του R.
• Η προσθήκη στο R πεδίο είναι προσεταιριστική δηλ (γ + δ) + f = c + (d + f) για κάθε c, d, f του R.
• Πολλαπλασιασμός στον τομέα R είναι προσεταιριστική δηλ (γ χ d) χ f = c x (δ χ στ) για κάθε c, d, f του R.
• Για κάθε αριθμό πεδίου R απέναντι από εκεί, τέτοια ώστε c + (-c) = 0, όπου c, -c από R.
• Για κάθε αριθμός πεδίου R υπάρχει αντίστροφο του, έτσι ώστε c x c ^-1 = 1 όπου c, c ^-1 του R.
• Μονάδα υπάρχει και μέλος R, έτσι ώστε τα c x 1 = c, για κάθε c του R.
• Έχει τη διανομή νόμο δύναμης, έτσι ώστε c χ (d + f) = C χ c χ f d +, για κάθε c, d, f του R.
• Το πεδίο R είναι μηδέν δεν είναι ίσο με τη μονάδα.
• Πεδίο R είναι μεταβατική: εάν c ≤ d, d ≤ f, τότε το c ≤ f για κάθε c, d, f του R.
• Με τη διάταξη R και προσθήκη διασυνδέονται: αν c ≤ d, τότε το c + f ≤ d + f για όλα τα c, d, f του R.
• Με τη διάταξη του R και του πολλαπλασιασμού που συνδέονται: εάν 0 ≤ c, 0 ≤ d, τότε 0 ≤ c χ d για κάθε c, d του R.
• Ως αρνητικοί και θετικοί πραγματικοί αριθμοί είναι συνεχείς, δηλαδή, για κάθε c, d του R f, υπάρχει από την Κ, ότι c ≤ f ≤ d.

πεδίο Ενότητα Ε

Οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν ένα τέτοιο πράγμα όπως μια μονάδα. Ειδικός ως η | f | για κάθε f στο R. | f | = F, αν 0 ≤ f και | f | = -f, αν 0> f. Αν λάβουμε υπόψη τη μονάδα ως γεωμετρική αξία, είναι μια απόσταση - δεν έχει σημασία, «πέρασε» που ως μηδέν στο αρνητικό στο θετικό ή προς τα εμπρός.

Συγκρότημα και πραγματικοί αριθμοί. Ποιες είναι οι ομοιότητες και οι διαφορές;

Σε γενικές γραμμές, περίπλοκη και πραγματικοί αριθμοί - είναι ένα και το αυτό, εκτός από το ότι η πρώτη εντάχθηκε η φανταστική μονάδα i, η πλατεία των οποίων είναι ίσο με -1. Στοιχεία πεδία R και C μπορεί να αντιπροσωπεύεται από τον ακόλουθο τύπο:

• c = d + f x i, όπου d, f, ανήκουν στο χώρο R, και Ι - μιγαδική μονάδα.

Για να πάρετε το γ της Κί σε αυτή την περίπτωση απλά υποτίθεται ότι είναι μηδέν, δηλαδή, υπάρχει μόνο το πραγματικό μέρος του αριθμού. Επειδή το πεδίο των μιγαδικών αριθμών έχει το ίδιο σύνολο χαρακτηριστικών όπως στον τομέα της ακίνητης, f x i = 0 αν f = 0.

Όσον αφορά πρακτικές διαφορές, για παράδειγμα, στον τομέα R τετραγωνική εξίσωση δεν μπορεί να επιλυθεί εάν η διακρίνουσα είναι αρνητική, ενώ το κιβώτιο C δεν επιβάλλει αυτόν τον περιορισμό με την εισαγωγή της μιγαδική μονάδα i.

αποτελέσματα

«Τούβλα» των αξιωμάτων και αξιώματα για τα οποία τα μαθηματικά βάση, δεν αλλάζουν. Σε κάποια από αυτά, λόγω της αύξησης των πληροφοριών και την εισαγωγή των νέων θεωριών τίθενται τα ακόλουθα: «τούβλα», η οποία στο μέλλον μπορεί να γίνει η βάση για το επόμενο βήμα. Για παράδειγμα, φυσικούς αριθμούς, παρά το γεγονός ότι είναι ένα υποσύνολο του πραγματικού πεδίου Ε, δεν χάνει τη σημασία της. Είναι να τους η βάση όλης στοιχειώδη αριθμητική, η οποία αρχίζει με τη γνώση ενός ανθρώπου της ειρήνης.

Από πρακτική άποψη, οι πραγματικοί αριθμοί μοιάζουν με μια ευθεία γραμμή. Είναι δυνατόν να επιλέξουν κατεύθυνση, να προσδιορίσει την προέλευση και στον αγωνιστικό χώρο. Άμεση αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό σημείων, καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό, ανεξάρτητα από το αν ή όχι λογική. Από την περιγραφή, είναι σαφές ότι μιλάμε για την ιδέα, η οποία βασίζεται στα μαθηματικά σε γενικές γραμμές, και μαθηματικής ανάλυσης ιδιαίτερα.